Determinante bei einer beliebig großen Matrix

11.01.2009, 00:31

Sandara

Determinante bei einer beliebig großen Matrix

doch nochmal, weil ich durch einen Kommilitonen und unsere Analyse einer nxn-Matrix auf verschiedene Ergebnisse und Ansichten gekommen sind.

Es geht um eine beliebig große Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & n & n & .. & .. & n \\ n & 2 & n & .. & .. & n \\ n & n & 3 & n & .. & n \\ .\\ n & n & .. & .. & .. & n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun soll man die Determinante errechnen. Ich dachte in der VL gehört zu haben, dass wenn man beliebig große Matrizen hat und die Determinante berechnen will, dann kann man das blöckeweise annähern.

Er hat durch Ausprobieren die Determinante n! raus, ich hab den oberen Block genommen und die Determinante $\begin{eqnarray*} 2n^3 - 6n^2 + 6 \end{eqnarray*}$ raus. Gut, inzwischen weiß ich, dass meine Methode nicht geht.

Also hab ich den Entw.-Satz versucht und habe nach der 1. Spalte entwickelt.

Das ergibt:

$\begin{eqnarray*} detA= 1 \cdot 1 \cdot det \begin{vmatrix} 2 & n & .. & .. & n \\ n & 3 & n & .. & n \\. \\ . \\ n & n & n & .. & n \end{vmatrix} - 1 \cdot n \cdot det \begin{vmatrix} n & n & .. & .. & n \\ n & 3 & n & .. & n \\ . \\ . \\ n & n & .. & .. & n \end{vmatrix} - .. + 1 \cdot n \cdot det \begin{vmatrix} n & 2 & n & .. & n \\ n & n & 3 & .. & n \\ . \\ . \\ n & n & .. & .. & n \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechne ich die Determinante vom ersten Block ergibt das :

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot .... \cdot (n-1) \cdot n + n! + n! - n! - n! \cdot 2 - n! \end{eqnarray*}$

Und da verlassen sie mich, denn ich kann mir vorstellen, dass es so ähnlich in den anderen Blöcken verläuft, aber meine Frage:

Geht das so allgemein?

Viele GRüße
Sandra

11.01.2009, 15:40

Leopold

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Viel zu umständlich.
Du mußt nur die letzte Zeile von der ersten, zweiten, dritten, ... , vorletzten abziehen. Dann hast du sofort eine untere Dreiecksmatrix. Fertig!

11.01.2009, 20:47

Sandara

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Richtig, das ginge ja auch smile

Danke

12.01.2009, 09:40

Sandara

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Also meine Determinante lautet:

det C= $\begin{eqnarray*} (-1)(n-1)(n-2)(n-3) \cdot ... \cdot (1) \end{eqnarray*}$

Mir erscheint das ein wenig komisch verwirrt

denn das wäre $\begin{eqnarray*} (-1) \cdot n! \end{eqnarray*}$

Ich hab die Matrix umgeformt und meine Hauptdiagonale ergab dann $\begin{eqnarray*} (1-n),(2-n),(3-n),....((n-1)-n), (n-(n-1)) \end{eqnarray*}$ , was, da es eine Diag.-Matrix wurde, die Determinante ergibt (mit dem Produkt).

Ich hab das aber dann mit (-1) multipliziert und ich weiß nicht, ob ich das darf?

12.01.2009, 17:49

Leopold

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Die Diagonalelemente stimmen fast, nur das letzte an der Position $\begin{eqnarray*} (n,n) \end{eqnarray*}$ nicht. Die letzte Zeile bleibt ja unverändert.
Und dann war dein Gespür, daß das etwas mit der Fakultät zu tun hat, richtig. Bei der Umsetzung hast du allerdings einen Fehler begangen. Du mußt aus jeder Klammer den Faktor $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ herausziehen.

$\begin{eqnarray*} (1-n)(2-n)(3-n) \cdots (-1) \cdot n = (-1)(n-1)(-1)(n-2)(-1)(n-3) \cdots \end{eqnarray*}$

Was erhältst du insgesamt?

13.01.2009, 07:54

Sandara

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In der Hoffnung, dass ich dich richtig verstanden habe, erhalte ich dann

$\begin{eqnarray*} (-1)(n-1)(n-2)(n-3).......(n) \end{eqnarray*}$

also insgesamt

$\begin{eqnarray*} (-1) \cdot n! \end{eqnarray*}$ , das n kann ich ja durch das Produkt nach vorne ziehen und bekomme dann $\begin{eqnarray*} (-1)(n(n-1)(n-2)(n-3)....) \end{eqnarray*}$

Kommt das hin?

13.01.2009, 17:22

Leopold

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Nein.

Zitat:

Original von Leopold
Du mußt aus jeder Klammer den Faktor $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ herausziehen.

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