Grenzwertbeweis

11.01.2009, 00:53	p2501	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertbeweis Hallo. wir sollen beweisen, dass: (x geht von oben gegen null) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} ( \frac {e^{ \frac{-1}{x} }}{x^k})= 0 \end{eqnarray}$ das ganze sollen wir aus dem bespiel folgern: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty}(\frac{x^{k}}{e^x})= \lim_{x\to\infty}(\frac{kx^{k-1}}{e^x})= ............= \lim_{x\to\infty}(\frac{k!}{e^x})= 0 \end{eqnarray}$ ich stehe allerdings auf dem schlauch wie ich daraus, auf das oben gestellte problem schlussfolgern kann. die reine anwendung von l'hopital bringt mir auf den ersten blick nichts, da $\begin{eqnarray} (e^{ \frac{-1}{x}}) \end{eqnarray*}$ immer im zähler stehen wird; egal wie oft ich ableite. hat jemand einen tip wo der knif liegt? vielen dank im voraus für jede hilfe!
11.01.2009, 01:26	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde vorschlagen, dass du 1/x=z substituierst und dann den Grenzwert für z gegen Unendlich bildest.
11.01.2009, 02:47	p2501	Auf diesen Beitrag antworten »
gesagt,getan substituiert, umgestellt und ich erhalte: $\begin{eqnarray} \lim_{z \to \infty } (\frac{z^k}{e^z}) \end{eqnarray}$ und der ist null, da die exponentialfunktion immer schneller steigt als jede potenzfuntionen. richtg?
11.01.2009, 03:36	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt vom Prinzip her schon, ist aber ein bisschen schwammig zumal du jetzt l'Hospital anwenden kannst. Edit: Oder verweist einfach auf den Grenzwert den du schon gezeigt hast, bzw. der schon angegeben war.
11.01.2009, 12:59	p2501	Auf diesen Beitrag antworten »
logisch. glatt übersehen, dass nun der quotient aus dem beispiel vorliegt. danke vielmals
11.01.2009, 13:42	p2501	Auf diesen Beitrag antworten »
schluss das ganze soll $\begin{eqnarray} \forall k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ bestätigt werden. zum schluss noch rücksubstituiert: $\begin{eqnarray} \lim_{z \to \infty} \frac{k!}{e^z} = 0 =\lim_{x \to 0} \frac{k!}{e^{\frac{1}{x}}} \end{eqnarray}$
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