Matrix-Zerlegungen als stetige Funktionen

11.01.2009, 02:14	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix-Zerlegungen als stetige Funktionen Hallo zusammen, mit der Verfahren für LR, QR & Co habe ich mich bereits auseinander gesetzt. Nun bin ich auf einen anderen Blickwinkel gestoßen, weiß aber nicht so recht, wie man da rann gehen soll. Vielleicht hat das ja mal jemand gemacht und kann mir einen Text linken oder es erklären. Gegeben ist eine reguläre komplexe Matrix. Der Ordnet man nun die Zerlegung in eine Matrix unitäre Q und eine Matrix Dreiecksmatrix mit pos. Diagonale R zu. $\begin{eqnarray} X \to (X_Q,X_R) \end{eqnarray}$ Wie zeigt man nun , dass diese Abbildung stetig ist? Danke, tigerbine
11.01.2009, 15:53	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast hier die QR-Zerlegung aufgedröselt, das heisst man sieht, wie man die einzelnen Matrixeinträge von $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ bekommt. Da die Norm stetig ist, gewissen arithmetische Operationen stetig sind, und daher auch das Skalarprodukt stetig ist [Summen und Produkte von stetigem bleibt stetig] müssen auch die Matrizen $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ stetig von der Ausgangsmatrix abhängen. Ein stetige Matrixprodukt bleibt auch wieder stetig [wieder nur viele Summen und Produkte].
11.01.2009, 19:14	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also sieht man dann den Algorithmus als Funktionsvorschrift an? Und wenn man sagen kann er in einem Schritt eine Stetige Abbildung liefert, dass ist die Nacheinanderausführung auch stetig. Im Schritt werden dann stetige Abbildungen kombiniert und daher ist der Schritt stetig?
11.01.2009, 20:55	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Algorithmus mehr oder weniger, ja. Solange man nur stetige Operationen benutzt und diese kombiniert bleibt alles nach dem Kompositionssatz stetig.
11.01.2009, 21:04	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für de Blickwinkel
30.01.2009, 18:32	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleiner Nachtrag hierzu. Obwohl Gram-Schmidt, Givens oder Householder verwendet werden können, kommt man nur mit Gram Schmidt auf dem Beweisweg "Komposition stetiger Abbildungen" zum Ziel. Gruß
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