Zentralisator von endlichem Index in G |
11.01.2009, 12:44 | toasten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zentralisator von endlichem Index in G ich soll zeigen, dass wenn H ein endlicher Normalteiler in G ist, so ist der Zentralisator von endlichem Index in H. Ich selber habe bisher nur die Idee gehabt, dass ja H Normalteiler G impliziert, dass auch Normalteiler von G ist. Und somit läuft die Sache darauf hinaus, dass zu zeigen ist, dass die Mächtigkeit von endlich ist. Aber irgendwie... Kann mir jemand netterweise weiterhelfen? Wir haben noch einen Hinweis bekommen uns eine geeignete Gruppenwirkung anzuschauen bzw den dazu assoziierten Gruppenhomomorphismus. Vielen Dank Torsten |
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11.01.2009, 12:55 | marodeur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
muss es nicht heißen: und für welche gilt es denn, wenn H ein Normalteiler ist? (Definition von Normalteiler) |
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11.01.2009, 13:08 | toasten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, sorry.
Naja, wenn H Normalteiler ist, dann gilt ... |
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11.01.2009, 16:15 | marodeur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich seh grad, ist blödsinn, hab mich vermacht mit der gleichung und habs mit gH=Hg verwechselt... |
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11.01.2009, 16:40 | toasten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das heißt also, du hast erstmal keine Idee für einen Lösungsansatz? |
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11.01.2009, 18:34 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nimm erstmal zwei verschiedene Elemente her (ich meine hier wirklich Minus). Da ein Normalteiler ist, operieren/wirken diese auf per Konjugation und die Frage ist nun, was es bedeuten würde, wenn beide Elemente auf gleiche Art und Weise operieren, d.h. wenn für alle gelten würde. Anmerkung: Es ist leider recht schwer hier zu helfen, da es immer unterschiedliche Bezeichnungen gibt und ich nicht weiß, was man schon voraussetzen kann. Frag' einfach nach, wenn Dir was unklar ist. |
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11.01.2009, 20:56 | toasten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, also die Bezeichnung hatten wir nicht. Ich probiere es einfach mal mit meinen Worten zu wiederholen, was du meinst: Betrachten der Gruppenwirkung mit . Und mit deinem meinst du wahrscheinlich ? Aber was bringt mir das? |
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11.01.2009, 21:28 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Betrachte lieber die Gruppenwirkung , welche gegeben ist durch . Diese induziert einen Homomorphismus von in die Gruppe aller bijektiven Selbstabbildungen von . Dieser ist gegeben durch , wobei die Bijektion darstellt. Überlege dir, was der Kern dieses Homomorphismus ist. Wann gilt also ? Wenn du den bestimmt hast, dann siehst du hoffentlich auch, was dir das bringt. |
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11.01.2009, 23:15 | toasten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aha, ich habe jetzt Kann man jetzt mit dem Homomorphiesatz folgern, da H endlicher Normalteiler ist endlich und somit auch endlich? |
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11.01.2009, 23:52 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"... und somit auch endlich" sollte es heißen. Vielleicht wäre noch eine kleine Bemerkung angebracht, warum endlich sein muss, ansonsten passt dann alles. |
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12.01.2009, 09:39 | toasten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, stimmt. Noch eine kleine Frage zur Schreibweise: Ist #?
Naja, dadurch dass H endlich ist, gibt es halt auch nur endlich viele Bijektionen von H nach H. Reicht das, es so salopp zu sagen? Auf jeden Fall vielen Dank für deine Hilfe! Grüße Toasten |
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12.01.2009, 14:53 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist eine Untergruppe von (n=|H|), also der Permutationsgruppe von n Elementen, und diese ist endlich. Allgemein lässt sich sagen, dass ist, also isomorph zu einer Untergruppe der vollen Automorphismengruppe von H. Hierbei ist der Normalisator von H in G, im vorliegenden Fall also . Zur Schreibweise: Das mit der Raute kenne ich nicht, aber für die Ordnung gilt: |
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