Differentialquotient

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PG Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialquotient
Hi
Folgende Aufgaben versteh ich nicht ganz bzw. ich weiss nicht, wie man die Ableitung durch Differentialquotienten bildet.

1)

2)

3)



1) da habe ich nur für +x, aber bei -x komme ich nicht weiter:



weiter weiss ich nicht mehr! ich habe erst am vorzeichen ausklammern in der wurzel gedacht, aber das darf man ja nicht...

2)hier habe ich auch für das positiv vorzeichen hinbekommen, aber nur das negative wieder...



3) hier habe ich kein plan!...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialquotient
Zitat:
Original von PG
1) da habe ich nur für +x, aber bei -x komme ich nicht weiter:



Erweitere mit .
In jedem Fall mußt du die Fälle x>0, x=0 und x<0 sauber unterscheiden.
 
 
xrt-Physik Auf diesen Beitrag antworten »

Erweitere den Bruch mit



und mache die Grenzwertbetrachtung ohne den Nenner.

Bei 2 erweiterst du den Bruch so, dass unter Anwendung der 3.bi-
nomischen Formel (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 die Wurzeln weggehen,
der Nenner ist dann nicht mehr zu beachten!
PG Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialquotient
wie kann man sowas herausfinden,dass man erweitern muss? gibt es da spezielle tricks oder einfach nur betrachten und überlegen?


1)


weiter?
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Naja nach Binomischen Formeln sollte man immer Ausschau halten Wink
PG Auf diesen Beitrag antworten »

danke für den tipp smile

wie geht die aufgabe weiter=?
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Na x-a rauskürzen.
PG Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialquotient
hi

achsoo stimm Hammer


1)


2)
hmm
weiter?

3) wie geht das hier?
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Für 3. benutzt du am besten das und ist.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

was hat eigentlich klarsoweit mit unterscheidungen gemeint?

danke für alles
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Bei den anderen würd ich mir auch nicht soviel Arbeit machen. Z.B. kann man bei 1. so umformen:






So wird die ganze Fallunterscheidungssache schön einfach.

Zitat:
was hat eigentlich klarsoweit mit unterscheidungen gemeint?


Die Fallunterscheidung für die Betragsfunktion. Hast du ja schon gemacht.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

ich melde mich zurück:

zu 3) hier bekomme ich bzw , aber das kann nicht sein, weil die ableitung 3a^2 sein muss... was habe ich falsch gemacht?
bsp.


wir sollen anschliessend überprüfen, ob die funktion an der stelle x=0 differenzierbar ist. bei der funktion 2 bin ich mir nicht sicher, wie es da geht:


und


aber wie soll ich es da überprüfen, wenn ich null nicht einsetzen kann? das würde doch bedeuten, dass die ürsprüngliche funktion nicht an der stelle x=0 definiert ist, aber sie ist es... was nun?
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

PG Auf diesen Beitrag antworten »

Lehrer
Zitat:
Original von irre.flexiv
Für 3. benutzt du am besten das und ist.


aber du hast es mir doch so gesagt...

edit: sry
PG Auf diesen Beitrag antworten »

wir sollen anschliessend überprüfen, ob die funktion an der stelle x=0 differenzierbar ist. bei der funktion 2 bin ich mir nicht sicher, wie es da geht:


und


aber wie soll ich es da überprüfen, wenn ich null nicht einsetzen kann? das würde doch bedeuten, dass die ürsprüngliche funktion nicht an der stelle x=0 definiert ist, aber sie ist es... was nun?
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ja nur weil f in x differenzierbar ist, heißt das nicht das f' in x stetig ist.
Also musst du wieder den Differenzialquotienten bemühen.

Edit: Ne vergiß das wieder, stimmt zwar aber hat nix mit unserem Problem zu tun smile


und


Da ist ein Fehler. Du musst vollständig Kürzen bevor du den Grenzübergang machst.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

wie meinst du das mit kürzen? was kann man da noch kürzen?
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid das war falsch, du musst extra rechnen.



a = 0

PG Auf diesen Beitrag antworten »

hi

warum muss man in diesem Fall extra rechnen?

ich habe überprüft, dass meine ableitung richtig ist, aber diese Ableitung ist an der stelle 0 nicht definiert, wobei die ausgangsfunktion dort definiert ist. Da die Ableitung die ihr übergeordnete Funktion auf ihre eigenschaften beschreibt, frage ich mich, was an der stelle 0 an der ausgangsfunktion los ist?

Ich habe deine rechenweg verstanden, aber trotz dessen versteh ich nicht, warum man nicht meinen weg nehmen kann....
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denk mal das liegt daran das |x| in 0 nicht differenzierbar ist.
Aber ganz genau erklären kann ich es leider nicht unglücklich
PG Auf diesen Beitrag antworten »

hmm was nun?

kann mir da kein anderer helfen?
Serpen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von irre.flexiv
Ich denk mal das liegt daran das |x| in 0 nicht differenzierbar ist.
Aber ganz genau erklären kann ich es leider nicht unglücklich


Ich weiss nicht, ob das mit der Aufgabe weiterhilft, aber grafisch erklärt ist die Betragsfunktion |x| nicht differenzierbar in 0, weil der Graph der Funktion dort spitz zuläuft und somit das Anlegen einer Tangente dort nicht möglich ist, weshalb die Steigung an der Stelle nicht definiert ist.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialquotient
Sorry, passte hier nicht...
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von irre.flexiv
Tut mir leid das war falsch, du musst extra rechnen.




Sorry, aber mit sowas bringst du den/die PG hier ja völlig durcheinander. Lieber nur dann helfen, wenn man sich wirklich sicher ist. Für die zweite Funktion existiert die Ableitung im Punkt 0, denn , also



@PG: Um zu sehen, dass eine Funktion in einem Punkt differenzierbar ist, sollst du nicht in die an anderen Punkten existierende Ableitung einsetzen, sondern du musst den Differentialquotienten berechnen - ganz nach Definition der Ableitung.
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Kommentar muss ich jetzt nicht verstehen oder?

Vielleicht nochmal alles durchlesen, das Problem ist zur Zeit ein ganz anderes.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von irre.flexiv
Dein Kommentar muss ich jetzt nicht verstehen oder?

Vielleicht nochmal alles durchlesen, das Problem ist zur Zeit ein ganz anderes.


In deiner Welt vielleicht. Es ging um die Differenzierbarkeit der Funktion in Null - nicht um die Stetigkeit der Ableitung in Null.


@PG: Deine Ableitungen stimmen auch nicht. Du hast


und
. (<-- Das soll wohl für negatives x gelten???)

Es gilt aber

(fehlt also bei deiner "2ten" Ableitung noch ein Minus in der Wurzel)

in jedem x, welches nicht Null ist. Um's nochmal auf den Punkt zu bringen: Man sieht, dass man hier kürzen kann, und zwar mit . Das ergibt dann

.

Also ist die Ableitung auch in Null stetig, was hier aber nicht die Frage war.
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man. Ich kann mich nur wiederholen.

Das f in 0 differenzierbar ist war schon lange geklärt.

PG wollte folgendes wissen.

Kann man die Differenzierbarkeit in 0 zeigen ohne explizit den Differenzialquotienten für a=0 berechnen zu müssen. Dazu müsste man ja allgemein die Abbleitung, also ohne Fallunterscheidun, berechnen können. Ich wüßte nicht wie das gehen soll, aber ich lass mich gern belehren.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wo du das rausgräbst ist mir schleierhaft. Ich habe den ganzen Thread durchwühlt nach dem Wort "belehren". Da ist nur dein Beitrag rausgekommen. Sage mir: Im wievielten Beitrag dieses Threads kommt diese Fragestellung vor? Ich find's nicht...
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Puh. Naja es sind ja auch Unmengen an Beiträgen.

21:59

Ich schreibe das man für a=0 den Differenzialquotienten extra berechnen muss.

22:05

PG fragt : "Warum muss man diesen Fall extra rechnen?"
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Ich erkläre dir meinen Beitrag nochmal. Zuerst habe ich folgendes kritisiert:

Zitat:
Original von irre.flexiv
,


was offensichtlich falsch ist. Dann habe ich nochmal auf richtigem Wege gezeigt, dass die Funktion in Null differenzierbar ist. Sodann habe ich PG angesprochen und damit auf seine Frage

Zitat:
Original von PG
warum muss man in diesem Fall extra rechnen?


geantwortet.
irre.flexiv Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Gut. Ich erkläre dir meinen Beitrag nochmal. Zuerst habe ich folgendes kritisiert:
Zitat:
,

was offensichtlich falsch ist. Dann habe ich nochmal auf richtigem Wege gezeigt, dass die Funktion in Null differenzierbar ist.


Omg das seh ich jetzt erst. Tja dann muss ich mich bei dir entschuldigen.
Ich hoffe meine Kommentare haben dich nicht allzuviel Nerven gekostet.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ach iwo. Prost
PG Auf diesen Beitrag antworten »

also ich bin zurück

webfritzi hat meine frage beantwortet...
danke für jede hilfe

edit: trotzdem hätte ich noch eine frage:





das ist eine gute überlegung, aber darf man das einfach so erweitern? denn in der oberen funktion ist und in der unteren ist es auch für 0 definiert und damit wäre es doch eine andere Funktion(nur punktuelle änderung)...

edit2:wenn man das darf, dann warum???
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also zu jedem Term gehört eine Information, aus welchem Wertebereich die Variablen stammen. Dies wird gerne vergessen oder ignoriert, gehört aber der guten Ordnung halber immer dazu. Unter diesem Aspekt ist

eine Äquivalenzumformung. Es gehört eben die Angabe a > 0 dazu, auch wenn die Variable a im rechten Term einen größeren Wertebereich "vertragen" könnte.

Nebenbei: ist jetzt x oder a die Funktionsvariable?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG



Zuallererst mal ist das Quatsch, weil du links x schreibst und rechts a. Zweitens ist das Quatsch, weil das wenn dann f'(x) sein sollte und nicht f. Und drittens ist das falsch, weil der Betrag weggelassen wurde. Es muss heißen

.

So! Und das ganze gilt nur für x ungleich Null. Warum? Na, du hast sicherlich die Produktregel für die Berechnung verwendet, oder? Die geht so:

Sind u und v diffbar in a, dann gilt (uv)'(a) = u'(a)v(a) + u(a)v'(a).

Für a = 0 ist die Voraussetzung aber nicht erfüllt, denn hier ist u(x) = x und v(x) = WURZEL(|x|). Die Funktion v ist also nicht diffbar in Null. Deshalb kannst du das obige f'(x) erstmal nur für x ungleich Null hinschreiben. Für die Differenzierbarkeit von f in Null ist dann zu überprüfen, ob der Differentialquotient existiert. Das haben wir getan, und es kam heraus, dass er existiert, und dass f'(0) = 0 ist.
Nun kann man noch überprüfen, ob f stetig differenzierbar ist, d.h. ob die Ableitung stetig ist. Für x ungleich Null ist sie das offenbar, denn man kann dann den obigen Term nochmal kürzen:



und WURZEL(|x|) ist ja bekanntlich stetig. Hieraus kann man aber auch ablesen, dass f' in Null stetig ist, denn es gilt



Also ist f stetig differenzierbar.
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