Zerfallsprozess/Halbwertszeit

11.01.2009, 13:49

Die einzig Wahre

Zerfallsprozess/Halbwertszeit

Hallo!
Wir haben eine Aufgabe, in der wir das Alter eines alkoholischen Getränkes bestimmen müssen. Die Halbwertszeit beträgt 12,3 Jahre. Wir sollen berechnen, wie lange es dauert (also wie alt das alkoholische Getränk ist), wenn es nur noch 30 % eines bestimmten Inhaltsstoffes hat.

Ich hatte mir Prozentrechnung schon mal ermittelt, dass es 17,22 Jahre sein müssten. Allerdings verstehe ich NICHTS von einem anderen Weg.

Wir haben zum Zerfallsgesetz die Gleichung:
N(t)=N tiefgestellt 0 * e^-0,025t

Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar smile

11.01.2009, 13:54

Die einzig Wahre

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Ich glaube, dass man die Gleichung vergessen kann. Zumindest die 0,025, weil die sich auf eine andere Aufgabe beziehen.

11.01.2009, 14:29

mYthos

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Den Faktor (Zerfallskonstante) in der Hochzahl der e-Potenz, den du mit 0,025 bezeichnest hast, kann man tatsächlich vergessen, denn dieser ist nunmehr unbekannt und wird erst aus der Angabe der Halbwertszeit berechnet werden.

Setze dazu in

$\begin{eqnarray*} N_t = N_0 e^{-kt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_t = \frac {N_0}{2} \ ; \ t = 12,3 \end{eqnarray*}$

mY+

P.S.: Verwende bitte den Formeleditor!

11.01.2009, 14:53

Die einzig Wahre

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Ich kann mit dem Formeleditor nicht umgehen.

Also ich hab jetzt folgendes gemacht.
Ich habe ja:

N(t)=N(0)*e^-kt
N(t)=N(0)/2
t=12,3

In der ersten Gleichung habe ich N(t) ersetzt:

N(0)/2=N(0)*e^(-k*12.3)

habe durch N(0) geteilt:

1/2=e^(-k*12.3)

möchte mit dem Solver lösen, löse also nach 0 auf:

0=e^(-k*12.3) - 1/2

Jedenfalls klappt das nicht. Ich bin in Mathe leider keine Leuchte und versuchs dann immer irgendwie, meist ohne Erfolg.

11.01.2009, 15:16

mYthos

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Die letzte Gleichung ist richtig. Da sie eine Exponentialgleichung ist, solltest du sie anstatt mit dem Solver lieber selbstständig durch Logarithmieren lösen:

$\begin{eqnarray*} e^{-12,3k} = 0,5 \end{eqnarray*}$ (*)

Warum der Solver (welcher eigentlich?) kein konkretes Ergebnis liefert, weiss ich nicht.
Entweder versagt das Ding hier oder du hast die Gleichung nicht richtig eingegeben.

(*)
Löse so:

$\begin{eqnarray*} a^x = b \end{eqnarray*}$ | beide Seiten logarithmieren

$\begin{eqnarray*} x \ln a = \ln b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{ \ln b}{ \ln a} = \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

11.01.2009, 15:29

Die einzig Wahre

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Ich wollte mit dem Solver meines GTRs TI-84+ lösen, da ich das Logarithmieren nicht verstehe.

In den Solver gebe ich dann eigentlich nur ein:
0=e^(-X*12,3)-0,5

Also nichts anderes, als die letzte Gleichung von mir.

Als Error Meldung kommt dann:
ERR:NO SIGN CHNG

Ich versuch mich mal am Logarithmieren. Vielleicht schaffe ich es ja Augenzwinkern

11.01.2009, 15:59

Die einzig Wahre

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Jetzt kann ich zumindest schon ein wenig mit dem Formeleditor umgehen Augenzwinkern

Also meine Ausgangsgleichung zum Logarithmieren ist:

$\begin{eqnarray*} 0.5= e^{-12.3k} \end{eqnarray*}$

Habe mich an ein anderes Verfahren gehalten, das wir in der letzten Stunde gemacht hatten. Dabei habe ich dann auf beiden Seiten mit $\begin{eqnarray*} log_{e} \end{eqnarray*}$ erweitert:

$\begin{eqnarray*} log_{e}0.5=log_{e}e^{-12.3k} \end{eqnarray*}$

Durch die Rechenregel

$\begin{eqnarray*} log_{b}b=1 \end{eqnarray*}$

weiß ich, dass man oben also $\begin{eqnarray*} log_{e}e = 1 \end{eqnarray*}$ setzen kann. Es kommt dann raus:

$\begin{eqnarray*} log_{e}0.5=-12.3k /: (-12.3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{log_{e}0.5}{-12.3}=k \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Und wenn ja, was hast du an dieser Stelle für k raus? Und wenn ich dann k ausgerechnet habe, in welche Gleichung kann ich k dann einsetzen, um t rauszubekommen? Also die Zeit, die gebraucht wird, um nur noch 30 Prozent des Inhaltsstoffes zu haben.

11.01.2009, 17:11

Die einzig Wahre

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Ich hab da ein Fehler gemacht. Statt -12.3 muss da -11.3 stehen.

Also die Endgleichung wäre:

$\begin{eqnarray*} k=\frac{ln0.5}{-11.5} \end{eqnarray*}$

Wobei da bei mir k=0,602736679 raus kommt. Stimmt das? Und wenn ja, wo muss ich es einsetzen?

11.01.2009, 18:23

Die einzig Wahre

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Kann mir vielleicht bei den letzten Schritten noch jemand behilflich sein? Ich muss die Aufgabe bis morgen haben und würde es gerne an der Tafel vortragen, aber ich komm halt nicht weiter. unglücklich

11.01.2009, 18:30

mYthos

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Was nun, 11,5 oder 11,3? Warum schreibst du 11,5, wenn die Angabe 11,3 lautet? Daher stimmt das Resultat (noch) nicht.

Die logarithmische Umformung stimmt so weit.

Probiere beim Solver mal statt e^(...) die Funktion EXP(...). Oder statt -X nimm mal x und setze es dann mit $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ auf Minus

Das errechnete k muss natürlich in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden, mit der du dann weiterzurechnen hasst.

mY+

11.01.2009, 18:45

Die einzig Wahre

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Es muss natürlich -11,3 heißen. Habe mich da vertippt, sorry.
Die Funktion EXP gibt es laut Anleitung vom GTR nicht.

Habe dann k= 0,0613404585

Setze also in die Ausgangsgleichung ein:

$\begin{eqnarray*} e^{-0,0613404585 * t} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Und habe als Ergebnis: t=11,3

Was ja aber nicht die angepeilten 17,22 sind unglücklich

Was fehlt mir da denn jetzt noch bzw. wo liegt der Fehler?

Danke für die Hilfe!

11.01.2009, 18:55

Die einzig Wahre

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Hatte das t hier mit dem Solver berechnen, wollte ich noch eben sagen.

11.01.2009, 19:14

mYthos

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Damit bestätigst du doch nur das Ergebnis für die Konstante k. Wo hast du die 30% verwertet??

Zitat:

Original von mYthos
...
Das errechnete k muss natürlich in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden, mit der du dann weiterzurechnen hast.

mY+

Also heisst diese dann

$\begin{eqnarray*} N_t = N_0 e^{-0,06134 t} \end{eqnarray*}$

Die 30% verwerten wir dann so (N0 kann man 1 setzen):

$\begin{eqnarray*} 0,3 = e^{-0,06134 t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

P.S.: Was war der Fehler beim Solver?

11.01.2009, 19:56

Die einzig Wahre

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Ich hatte bei k doch nicht richtig gelegen.

(Wirklich) richtig für k ist:

k=0,05635

was man auch mit der Gleichung für die Halbwertszeit überprüfen kann:

$\begin{eqnarray*} t_{H}=\frac{ln2}{k} \end{eqnarray*}$

Wenn man hier k einsetzt, kommt man auf die 12,3 aus der Aufgabenstellung. Also zumindest stimmt schon mal das k.

Ich setze dementsprechend alles in die Ausgangsgleichung ein:

$\begin{eqnarray*} 0,3=e^{-0,05635t} \end{eqnarray*}$

Bringe die 0,3 auf die rechte Seite, sodass links 0 steht. Gebe es in den Solver ein und erhalte:
t=21.36

Ich weiß einfach nicht, wie ich auf die 17,22 kommen kann. Die ja zumindest stimmen müssten, wenn man meiner Prozentrechnung nach urteilt. In der Aufgabenstellung steht ja, dass am Ende nur noch 30 % vorhanden sind. Also muss man ja mit 70 % rechnen. Also wie viel sind 70% von dem Doppelten der Halbwertszeit 12,3 (=24,6)

$\begin{eqnarray*} W=G * \frac{p}{100} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W=24.6 * \frac{70}{100} =17.22 \end{eqnarray*}$

11.01.2009, 21:16

mYthos

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Also was jetzt - 11,3 oder 12,3 ? Jetzt wieder 12,3??

Und 70% vom Doppelten der Halbwertszeit, von wo hast du denn das? Also das ist Nonsense, dahin kann ich dir nicht folgen.

Es bleibt dabei, es ist die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 0,3 = e^{-kt} \end{eqnarray*}$

bei bekanntem k (wenn du dich endlich auf einen Wert geeinigt hast) nach t aufzulösen.

mY+

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