Cauchyform

11.01.2009, 17:11	crazyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchyform hi leute könnt ihr mir bei einer aufgabe behilflich sein. wir haben die funktion: $\begin{eqnarray} f(x)=(1+x)^{-1/2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>-1 \end{eqnarray}$ gegeben. ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} f(x)=\sum_{k=0}^\infty ~\begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix} (\frac{-x}{4})^k \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in (-1,1) \end{eqnarray}$
11.01.2009, 17:15	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kommt auch auf dein Vorwissen an. Wenn du z.B. schon die binomische Reihe $\begin{eqnarray} (1+x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^k \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|x\|<1 \end{eqnarray}$ für beliebige reelle $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ kennst, dann ist alles nur eine Frage der Umformung des Potenzreihen-Koeffizienten.
11.01.2009, 17:17	crazyy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (x+1)^{-1/2}=\sum_{k=0}^\infty ~\begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix} (\frac{-x}{4})^k \end{eqnarray}$ würde das dann so aussehen, kannst du mir beim umformen helfen
11.01.2009, 17:24	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte ein klares "Ja" oder "Nein" auf meine Frage, ob du die binomische Reihe benutzen darfst.
11.01.2009, 18:04	crazyy	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich darf es benutzen
11.01.2009, 18:26	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Großartig, dann musst du praktisch nur noch die Identität $\begin{eqnarray} \binom{-\frac{1}{2}}{k} = \binom{2k}{k} \cdot \left( -\frac{1}{4} \right)^k \end{eqnarray}$ nachweisen. Das sollte an sich nicht so schwierig sein, wenn man den Binomialkoeffizienten links richtig ausschreibt.
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11.01.2009, 18:40	crazyy	Auf diesen Beitrag antworten »
kannst du mir einen ansatz geben, weil ich das nicht aufschreiben kann
11.01.2009, 18:49	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist denn der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray} \binom{\alpha}{k} \end{eqnarray}$ für beliebige reelle $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und natürliche Zahlen $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ definiert? Einfach $\begin{eqnarray} \binom{\alpha}{k} := \frac{1}{k!} \alpha \cdot (\alpha-1) \cdot \ldots \cdot (\alpha-k+1) \end{eqnarray}$ Jetzt einfach $\begin{eqnarray} \alpha = -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ einsetzen: $\begin{eqnarray} \binom{-\frac{1}{2}}{k} := \frac{1}{k!} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \left( -\frac{3}{2} \right) \cdot \left( -\frac{5}{2} \right) \cdot \ldots \cdot \left( -\frac{2k-1}{2} \right) \end{eqnarray}$ Und dann eben noch ein bisschen umformen, auch unter Nutzung von $\begin{eqnarray} 1\cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k-3) \cdot (2k-1) = \frac{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2k-1) \cdot (2k)}{2\cdot 4 \cdot \ldots \cdot (2k-2) \cdot (2k)} = \frac{(2k)!}{2^k k!} \end{eqnarray}$ . Das waren jetzt aber mehr als genug Tipps!
12.01.2009, 00:03	crazyy	Auf diesen Beitrag antworten »
danke mehrmals für deine tipps, ich habe es echt versucht aber ich schaffe es nicht

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