schwere Aufgabe, Kreis

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gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »
schwere Aufgabe, Kreis
Gegeben ist der Kreis k mit k: x² + y² - 8x + 4y = 30.
Der Punkt P(12 ; -8) liegt nicht auf dem Kreis k (siehe vorherige Aufgabe).
Es existieren zwei Tangenten t1 und t2 von P an den Kreis k.
Bestimmen Sie die Koordinaten eines Berührpunktes B1.


Hallo,

kann mir jemand sagen, wie ich eine Tangentengleichung aufstellen kann, wenn ich gar keinen Punkt habe, der auf dem Kreis liegt?

P liegt außerhalb.. der Kreis lautet (x-4)²+(y-2)=50

Der Punkt muss scheinbar auf der Tangente liegen.
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

Bei deiner Gleichung stimmt was net:



<=>
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

ja sorry muss (x - 4)² + (y + 2)² = 50 sein
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kannst du denn alle Geraden durch den Punkt beschreiben?
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

yt=mxt+n

so??

das t klein
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »



Da die Gerade durch geht, muss gelten

<=>

Dies setzt du in ein.
 
 
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

okay und wie komme ich jetzt auf das m?

also
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

Du müsstes dann haben .

Dann berechnest du die Schnittpunkte mit dem Kreis, und schaust, wann es nur einen gibt!
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

okay, meinst du so:



?
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

nein...



Dann setzt du da ein:



Löse dies nach auf. Danach schaust, für welches nur eine Lösung ex.
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke. das wäre meine zweite idee gewesen :D

puuh, nach dem ausmulti steht bei mir: 50=x²-8x+16+mx²-44mx+484

also dann mx²-x²-8x-44mx+450=0

weiß nicht mehr weiter mit dem m : '(
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dies alles ausmultiplizierst, solltes du erhalten:



Dies ist eine quadratische Gleichung, die du mit der p/q-Formel lösen kannst.

Also:



mit und

Jetzt musst du schauen, für welches der Ausdruck in der Wurzel ist, denn genau dann ex. eine Lösung.
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

okay,

hier ist ein fehler oder?:






muss da nicht hinter 12 ein m?
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

ja, hab ich vergessen hinzuschreiben, aber bei der Rechnung ist dieses mit drin.
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

okay, danke für die rechnung aber ich komme nicht auf dein ausmultipliziertes.

ich habe am ende stehen



ich habe nur einmal die 144m² wie du.
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib es nen bisschen anders auf, und du hast das gleiche wie ich da stehen.

Bsp.:

Sorry, deine Gleichung stimmt trotzdem net. Du musst irgendwas falsch gerechnet haben.
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

ja denke ich auch, denn du hast gar kein -20mx
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mach mal weiter... da ich gleich weg bin:

Du rechnest dann

=>

Hieraus kriegst du dann oder . Das sind die Steigungen für die Tangenten.
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

okay, vielen dank. ich rechne das nochmal in ruhe. smile
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

habe jetzt als tangente rausbekommen:

y=- 94/6 + 8/6x

vielleicht noch den rest meiner lsgen:



Danke danke
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Was is'n das? Diese quadratische Gleichung? Es sollten sich doch Berührungspunkte ergeben.
Und die Steigung entspricht nicht der von uwe-b errechneten.

mY+
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

na ja, wenn man diese gleichung ausrechnet, kriegt man raus, zwei x:

5 und 11

das sind die berührstellen

GLAUBE ICH :'/
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, ja! Die Neuner kannst mal stanzen und dann noch durch 25 dividieren ->



Und das liefert die richtigen Lösungen 5 und 11! Schön!

Jetzt musst noch die y's berechnen und die Berührungspunkte hinschreiben.
Übrigens, das was du als Tangente hingeschrieben hast, ist nicht die Tangente, sondern die Polare, das ist die Verbindungslinie der beiden Berührungspunkte.

Mit dieser Methode lassen sich die Berührungspunkte und damit die Tangenten einfacher berechnen.

Dies solltest du aber begründen bzw. sagen, woher du das hast!

mY+
gugelhupf Auf diesen Beitrag antworten »

ja, cool.

habe mit den brüchen und großen zahlen gerechnet, aber am ende kam das raus smile

ich wusste auch gar nicht, was ich da eigentlich mache, wir haben uns im hefter nur diese gleichung dafür aufgeschrieben (x-a)(x1-a)+(y-b)(y1-b) oder so.. damit habe ich das gemacht, wir haben das ganze unter TANGENTENGLEICHUNG verzeichnet, also dachte ich, das wäre nun die tangentengleichung. polare klingt ja gleich viel netter. haha

deswegen wollte ich das eigentlich anders machen wie zb uwe, aber das war hier doch einiges komplizierter mit der umformung.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man sich nicht mit der Polaren auseinandersetzen will, muss man eben den kompizierteren Weg gehen.

Die von dir angeschriebene Gleichung hat den Vorteil, dass sie sowohl die Tangenten- als auch die Polarengleichung darstellt! Es kommt nur darauf an, ob der Punkt P(x1; y1), von dem aus die Tangenten gelegt werden sollen, auf der Kurve liegt oder nicht.

Also gibt es 3 Szenarien:

1.
Der Punkt P liegt AUF dem Kreis: Dann ist diese Gleichung (man nennt sie auch Spaltformel) die Tangentengleichung IM Punkt P(x1; y1)

2.
Der Punkt P liegt AUSSERHALB des Kreises: Dann ist dieselbe Gleichung die der Verbindungsline der Berührungspunkte der späteren Tangenten. Diese Linie nennt man Polare (des Punktes P bezüglich des Kreises k), der Punkt P ist dann den Pol. Diese Gleichung (Spaltformel) ist dann die der Polaren VOM Punkt P bezüglich des Kreises. Die Schnittpunkte mit dem Kreis sind nun die Berührungspunkte der noch zu errechnenden Tangenten. Setzt man diese nochmals in die Spaltformel ein, so erhält man die Tangenten. Alternativ dazu ergeben sich die Tangenten auch als Verbindungsgeraden von P zu den jeweiligen Berührungspunkten.


Daraus kann man auch erkennen, dass die Tangente eine spezielle Polare ist, nämlich die, deren Pol auf dem Kreis liegt. Je näher der Pol an den Kreis rückt, desto näher zur Kreislinie wandert die Polare, bis sie mit der Tangente zusammenfällt. Was noch gilt, ist, dass die Polare immer senkrecht auf der Verbindungslinie MP (Kreismittelpunkt-Pol) steht und die Tangenten im Winkel zu dieser symmetrisch liegen.

In logischer Konsequenz folgt dann

3.
Der Punkt P liegt INNERHALB des Kreises. Auch dann existiert eine reelle Polare, sie steht weiterhin senkrecht auf MP, aber sie verläuft ausserhalb des Kreises und hat mit diesem keine reellen Schnittpunkte mehr (diese haben dann komplexe Koordinaten). Das ist auch klar, denn vom Inneren eines Kreises aus lassen sich keine (reellen) Tangenten an den Kreis legen.

mY+
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