taylorreihen

11.01.2009, 19:32	dr_fine	Auf diesen Beitrag antworten »
taylorreihen hi ich hab da so meine probleme mit der taylorreihe also bei den beiden folgenden soll ich die taylorreihen bestimmten. ich kann die auch ableiten aber ich finde da nicht wirklich eine regelmäßigkeit so dass ich erkennen kann wie die taylorreihe aussieht 1) $\begin{eqnarray} \arctan(x)^{2} \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} \arctan(x) \end{eqnarray}$ kann man das ja noch nachgucken: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~ (-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{2k+1} \end{eqnarray}$ aber ich kann ja schlecht die summe einfach quadrieren. 2) $\begin{eqnarray} \sqrt{1+x^{2}} \end{eqnarray}$ da bekomm ich sowas raus: $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{13}{24}x^{4}-\frac{135}{246}x^{6}+-... \end{eqnarray}$ wie schreib ich dies denn jetzt mit summenzeichen auf ich hab ja: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~ (-1)^{k}x^{2k}\frac{ProduktAllerUngeradenZahlen}{Produkt Aller Geraden Zahlen} \end{eqnarray*}$
11.01.2009, 21:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x) = \arctan^2 x \end{eqnarray}$ (das ist doch gemeint? oder doch $\begin{eqnarray} f(x) = \arctan \left( x^2 \right) \end{eqnarray}$ ?) Ich würde von der Ableitung ausgehen und das Cauchy-Produkt bilden: $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac{2 \arctan x}{1 + x^2} = 2x \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n} \right) \left( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} \right) \end{eqnarray}$ Mit anschließender Integration folgt $\begin{eqnarray} f(x) = x^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} \left( \sum_{k=0}^n \frac{1}{2k+1} \right) x^{2n} \end{eqnarray}$ Die innere Summe ist eine Partialsumme der ungeraden Glieder der harmonischen Reihe und dürfte sich vermutlich nicht vereinfachen lassen.
12.01.2009, 15:06	dr_fine	Auf diesen Beitrag antworten »
ok vielen danke nach etwas rumrechnen kann deinen lösungsweg nachvollziehen. bei 2) ist mir ein fehler unterlaufen, es sollt: $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{1+x^{2}}^{-1} \end{eqnarray}$ heißen
12.01.2009, 15:36	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie lautet für 2) der Entwicklungspunkt der Taylorreihe?
12.01.2009, 17:08	dr_fine	Auf diesen Beitrag antworten »
ich soll das um null entwickeln inzwischen hab ich auch schon was kannst ja vllt mal gucken ob das stimmt: $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{1+x^{2}}^{-1} \end{eqnarray}$ stammfunktion gebildet: $\begin{eqnarray} F(x)=asinh(x) \end{eqnarray}$ davon hab ich die taylorreihe im Bronstein gefunden: $\begin{eqnarray} F(x)=\sum_{n=0}^\infty~ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}x^{2n+1} \end{eqnarray}$ und dies wieder abgeleitet: $\begin{eqnarray} F'(x)=f(x)=\sum_{n=0}^\infty~ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n} \end{eqnarray*}$ also zum verständniss !! bedeutet das ich nur die die geraden/ungeraden zahlen miteinander multipliziere anstatt wie bei der normalen fakultät alle mitzunehmen
12.01.2009, 17:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichwort: binomische Reihe
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12.01.2009, 17:55	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Doppelfakultät funktioniert so, wie du angenommen hast. Es wird immer eine natürliche Zahl beim multiplizieren übersprungen. Das sagt Wiki dazu: Wiki: Doppelfakultät Also deine Idee mit dem Integral ist sinnvoll, eleganter ist allerdings die von Leopold vorgeschlagene binomische Reihe.
12.01.2009, 18:47	dr_fine	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ok das seh ich ein das die schneller geht und weniger wissen voraussetzt. bin immer davon ausgegangen das der binomialkoeffizent würde nur für ganzzahlige positive zahelen definiert. also müsste die taylorriehe also so aussehen: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~ \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ k \end{pmatrix} x^{2n} \end{eqnarray}$ wenn ich jetzt noch was über die konvergenzradien aussagen will. reicht es zu sagen 1)konvergiert nur bei $\begin{eqnarray} \|x\|<1 \end{eqnarray*}$ da auch nur dann der atan der taylorreihe enrspricht die wir benutzt haben (beim anderen term is es ja auch so) bei 2) is das schon wieder etwas schwieriger oder nicht?

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