Entropie am Beispiel von Prognosen über den Krankheitsverlauf

11.01.2009, 21:01

Moeki

Entropie am Beispiel von Prognosen über den Krankheitsverlauf

Hallo.

Zitat:

Gegeben sind statistische Erfahrungswerte über drei Krankheiten. Patienten mit Krankheit A sterben in 80 % der Fälle und werden in 20 % der Fälle wieder gesund. Patienten mit Krankheit B sterben in 18% der Fälle und werden in 82% der Fälle wieder gesund. Patienten mit Krankheit C erkranken in 30% der Fälle in einigen Tagen auch noch an Krankheit A (und nicht an B), in 10% Prozent der Fälle auch noch an Krankheit B (und nicht an A). Patienten mit Krankheit C, welche sich keine zweite Krankheit (A oder B) zuziehen, sterben in 10% der Fälle und werden in 90% der Fälle wieder gesund. Bei Patienten mit Krankheit C, welche sich eine zweite Krankheit (A oder B) zuziehen, richtet sich der Krankheitsverlauf nach der zweiten Krankheit. Wie groß ist die Unsicherheit einer Prognose über Tod oder Gesundung bei den drei Krankheiten? Andere Krankheitsverläufe als die genannten kommen mit Wahrscheinlichkeit 0 vor. Die Prognose muss gleich zu Anfang abgegeben werden, noch vor einer Zweiterkrankung.

$\begin{eqnarray*} H= - \sum_i p_i * log_2 p_i \end{eqnarray*}$

Das heisst:

$\begin{eqnarray*} H_{A_Tod}= - 0,8 * log_2 0,8 = 0,25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H_{A_Gesund}= - 0,2 * log_2 0,2 = 0,46 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_{B_Tod}= - 0,18 * log_2 0,18 = 0,45 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H_{B_Gesund}= - 0,82 * log_2 0,82 = 0,23 \end{eqnarray*}$

Richtig soweit? Kann ich das wiefolgt interpretieren: Die Unsicherheit über den Tod bei Krankheit A beträgt 25 Prozent, über Gesundung 46 Prozent. Die Unsicherheit über den Tod bei Krankheit B beträgt 45 Prozent, über Gesundung 23 Prozent? Je niedriger die Unsicherheit, desto besser, denn desto wahrscheinlicher die jeweilige Prognose?

Wie muss ich nun bei Krankheit C die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten kombinieren?

Gruß,
Marko.

14.01.2009, 23:56

Abakus

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RE: Entropie am Beispiel von Prognosen über den Krankheitsverlauf
Soweit ich den Entropiebegriff kenne, bezieht der sich auf die ganze Wahrscheinlichkeitsverteilung; d.h. ich denke du musst jeweils aufsummieren.

Bei C kannst du erstmal überlegen, welche Fälle da möglich sind. Daraus ergibt sich die Berechnung.

Grüße Abakus smile

15.01.2009, 14:25

Moeki

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Vielen Dank für deine Antwort.

D.h.

$\begin{eqnarray*} H_A = 0,71 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H_B = 0,68 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_{C_Gesund} = - 0,9 * \log_2 0,9 = 0,14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H_{C_Tod} = - 0,1 * \log_2 0,1 = 0,33 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_{C_A} = - 0,3 * \log_2 0,3 + H_A = 0,66 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H_{C_B} = - 0,1 * \log_2 0,1 + H_B = 0,66 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_C = H_{C_Gesund} + H_{C_Tod} + H_{C_A} + H_{C_B} = ... \end{eqnarray*}$ Fehler, weil weit größer als 3.

16.01.2009, 00:18

Abakus

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Dein erster Schritt ist hier, dass du die Wahrscheinlichkeiten bei C für Tod und Gesund ermittelst, diese hast du beide bisher nicht. Erst daraus kannst du die Entropie berechnen.

Was passiert genau bei C also? Es gibt 3 Fälle, man kriegt nur C, man kriegt nach C dann noch A, man kriegt nach C dann noch B. In jedem der 3 Fälle kennst du die Todesrate und auch die Wahrscheinlichkeit für jeden Fall. Daraus müsstest du zB mit Baumdiagramm und Pfadregel o.ä. die Todesrate bei C bestimmen können. Wenn du die hast, weißt du auch wieviele gesund bleiben bzw. C überleben.

Grüße Abakus smile

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