zusammengesetzten Trapezregel

11.01.2009, 23:01

Rose88

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zusammengesetzten Trapezregel

Hey

smile

Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, hoffe mir kann jemand helfen!!!

"Gegeben Sei das Integral:
$\begin{eqnarray*} I :=\int_{0}^{1}~e^{-x^{2} }~dx \end{eqnarray*}$
Berechnen Sie mit Hilfe der zusammengesetzten Trapezregel und der zugehörigen Fehlerabschätzung:
$\begin{eqnarray*} \mid I(f)-Th(f)\mid \leq \frac{h^{2}}{12} max \mid f^{''}(x) \mid 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$
eine Näherung N für I mit einer Genauigkeit von
$\begin{eqnarray*} \mid I-N\mid \leq 3*10^{-3} \end{eqnarray*}$ "

Ich habe bereits die zusammengesetze Trapezregel durchgeführt und erreiche die Genauigkeit bei n=5. Stimmt das?

Was mache ist jetzt mit der zugehörigen Fehlerabschätzung?
Setze ich für Th(f) den Wert von N ein und berechne den Wert h?
Anschließend bestimme ich dann die 2. Ableitung, setze 0 und 1 ein und erhalte dadurch das Maximum oder muss ich die 3. Ableitung bilden und die Nullstelle finden und diese dann als Maximum verwenden?!?

Hoffentlich kann mir jemand von euch dabei helfen. Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Grüße, Rose

11.01.2009, 23:07

tigerbine

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RE: zusammengesetzten Trapezregel
Vielleicht zeigst du mal deine Rechnung?

11.01.2009, 23:13

Rose88

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Was mir gerade aufgefallen ist, ich muss mit der Genauigkeit und der Fehlerabschätzung n rausfinden, oder?!?

[WS] Numerische Integration - Beispiele
Habe den Link zufällig gefunden, echt toll smile

smile

[4a. Trapezregel]

Wieso sind die Fehlerabschätzungen eigentlich unterschiedlich, müssten die nicht eigentlich gleich sein?!?

11.01.2009, 23:14

tigerbine

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Ja, denn du willst ja nicht mehrmals den "Aufwand" betreiben.

Was meinst du mit unterschiedlich?

11.01.2009, 23:19

Rose88

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in der Aufgabenstellung steht ja:
h^2/2 (siehe oben)

und auf der seite steht eine andere formel, unter dem punkt 4a. Trapezformel...(...)^3

11.01.2009, 23:23

tigerbine

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Am Anfang steht im WS sie Abschätzung für n=1, dann ist h=(b-a). Das sollte als Vergleichswert dienen.

hier steht es allgemein: [WS] Numerische Integration -Theorie

Bei dir wurde der Term (b-a) schon weggelassen, da ihr ein Integral über [0,1] betrachtet. Ist unschön in meinen Augen, aber nachvollziehbar.

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11.01.2009, 23:36

Rose88

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[WS] Numerische Integration -Theorie

ok, das kann ich nachvollziehen
also kann ich das genauso wie in deinem Beispiel auch durchführen? erst mit der (..)^3 ohne das h^2 -formel den wert berechen um anschließend n herauszubekommen?!?

11.01.2009, 23:39

tigerbine

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Hab dir doch schon gesagt, warum 1 Term bei dir "fehlt" und bei mir am Anfang (1-0)³ steht. Weiter unten steht doch

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |I(f)-I^T(f)|\leq \frac{(1-0)}{12}\cdot h^2 \cdot \max_{x \in[0,1]}~|f^{(2)}(x)| \end{eqnarray*}$

Du musst nun die weite Ableitung abschätzen.

11.01.2009, 23:42

Rose88

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und für h setze ich einfach h= (b-a)/2 ein und führe das dann durch?

11.01.2009, 23:43

tigerbine

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Nein. Du sollst h doch mit der geforderten Genauigkeit und der Fehlerabschätzung bestimmen.

11.01.2009, 23:47

Rose88

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aber wie kann ich das jetzt machen??! bei deinem Beispiel hast du ja den Wert 1/6 rausbekommen und dann weiter gerechnet

11.01.2009, 23:50

tigerbine

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Du kennst doch die Funktion. Also berechne die Ableitungen und schätze ab. Das habe ich ja auch gemacht.

12.01.2009, 16:06

Rose88

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habe jetzt die Ableitungen berechnet:
$\begin{eqnarray*} f(x)=e^ {-x^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-2*x*e^{-x^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-2*e^{-x^{2}}+ 4*x^{2}*e^{-x^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=4*x*e^{-x^{2}}+ 8*x*e^{-x^{2}}-8*x^{3}*e^{-x^{2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich die 3. Ableitung = 0 gesetzt, da kam raus: x1=0 und x2=+sqrt(12/8) und x3=-sqrt(12/8)
Die Werte habe ich dann in die 2. Ableitung eingesetzt.

Die 2. Ableitung habe ich dann auch = 0 gesetzt und die Nullstellen x4 = sqrt(1/2) und x5 = -sqrt(1/2) herausbekommen.
Die ganzen Werte habe ich nun eingezeichnet.

Dann müsste $\begin{eqnarray*} max \mid f''(x)\mid =2 \end{eqnarray*}$ sein, oder?? für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$

12.01.2009, 16:13

tigerbine

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Das Ergebnis passt.

12.01.2009, 16:17

Rose88

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Jetzt betrachte ich die Fehlerabschätzung und setze $\begin{eqnarray*} max (...) = 2 \end{eqnarray*}$ ein, dann bekomme ich auf der rechten Seite: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} h^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3*10^{-3} \leq \frac{1}{6} h^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,018 \leq h^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{0,018} \leq h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {\frac{3\sqrt{5}}{50}} \leq h \end{eqnarray*}$

12.01.2009, 16:21

Rose88

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$\begin{eqnarray*} h= \frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n= \frac{b-a}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n= \frac{1-0}{\frac{3\sqrt{5}}{50}} \end{eqnarray*}$

n ist dann ungefähr 7,45 bzw. n=8

12.01.2009, 16:22

tigerbine

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Dann bestimme die summierte Trapezregel für n=8

12.01.2009, 16:24

Rose88

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Das heißt h muss mindestens 0,13416... und n mindestens 7,45 sein, um die Genauigkeit zu erreichen?

Ich habe die Rechnung durchgeführt und bereits bei n=5 und h=0,2 die Genauigkeit erreicht, kann das stimmen?

12.01.2009, 16:32

tigerbine

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Es ist nur eine Abschätzung. Daher kann es auch schon früher klappen. Nur, warum hast du n=5 ausgerechnet? verwirrt

verwirrt

12.01.2009, 16:39

Rose88

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Okay, dankeschön!!
Ich hatte am Anfgang nicht die Fehlerabschätzung beachtet, sondern einfach drauf los gerechnet und bei n=1 angefangen.

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