LGS mit Parameter

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12.01.2009, 04:40	Ben3	Auf diesen Beitrag antworten »
LGS mit Parameter Hallo, ich habe folgendes LGS gegeben und soll die Werte für den Paramter a angeben, für die das LGS eine eindeutige Lösung hat. $\begin{eqnarray} x - y + 3z = 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3x - 2y + 11z = 21 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x + 2y + az = 3a \end{eqnarray}$ Determinaten habe ich noch nicht gehabt, will also die Lösung auf anderem Weg erhalten. Wie ich gelesen habe, erhalte ich die Werte für den Parameter a, für die das LGS eine eindeutige Lösung besitzt, über das Ausschlussprinzip. Demzufolge muss zunächst alle Werte für a bestimmen, für die das LGS unendlich viele bzw. keine Lösung besitzt. Unendlich viele Lösungen gibt es für $\begin{eqnarray} a = -1 \end{eqnarray}$ Die allgemeinen Lösungen sind demzufolge: $\begin{eqnarray} z=t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=3-2t \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} x=9-5t \end{eqnarray}$ Doch bei der Bestimmung des Wertes für die das LGS keine Lösung hat, habe ich leider keinen Ansatz. Ich weiß nur, dass sich (logischerweise) in der letzten aufgelösten Zeile des Gaußschemas eine Ungleichung ergeben muss. Aber wie ermittel ich den Paramter a für den eine solche Ungleichung zustande kommt? Es ist sicher ganz einfach, aber irgendwie stehe ich auf dem Schlauch...
12.01.2009, 10:17	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS mit Parameter Dann wende das Gaußschema mal an. Mit ist eh unklar, woher du weißt, daß es für a=-1 unendlich viele Lösungen gibt.
12.01.2009, 19:55	Ben3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS mit Parameter @klarsoweit Das Gaußschema hab ich ja angewendet! Deswegen komme ich auch auf $\begin{eqnarray} x=-1 \end{eqnarray}$ Die allgemeinen Lösungen müssten $\begin{eqnarray} x=9-5t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=3-2t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=t \end{eqnarray}$ sein. Mir ist quasi nur nicht klar, wie ich den Paramter ermittel, so dass das Gleichungssystem keine Lösung hat.
12.01.2009, 19:57	Ben3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS mit Parameter Sorry, ich meine natürlich $\begin{eqnarray} a=-1 \end{eqnarray}$ .
12.01.2009, 19:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Entweder untersuche die Determinante, die aus den Koeffizienten der Variablen gebildet wird oder forme die Gleichungsmatrix nach dem Gauss-Verfahren entsprechend um. Die Suche im Board hier könnte auch noch weitere Erkenntnisse bringen, dieses Thema wurde schon oft hier behandelt. Gerade läuft LGS Wann lösbar abhängig Variable U.a. LGS mit zwei Parametern LGS Für welches a nicht triviale Lösungen? gauß algorithmus mit parameter mY+
12.01.2009, 20:13	Ben3	Auf diesen Beitrag antworten »
@mYthos Dankeschön, aber diese Beiträge bringen mich leider nicht so richtig weiter. Die Determinantenuntersuchung hatte ich noch nicht und bei dem Gauß-Verfahren habe ich offensichtlich eine Denkfehler. Mir ist die Methodik nicht klar, wie ich den Paramter a bestimme sodass das GLS keine Lösung hat. Die Dreiecksform heißt bei mir: $\begin{eqnarray} x \| y \| z \| 6 \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 \| -1 \| 3 \| 6 \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \| 1 \| 2 \| 3 \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \| 0 \| -1-a \| -3-3a \end{eqnarray}$
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13.01.2009, 00:47	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrixumformung bei dir ist soweit fast richtig, in der letzten Zeile habe ich zwar $\begin{eqnarray} 0 \ \ 0 \ \ 1+a \ \| \ 3+3a \end{eqnarray}$ aber die Lösung verändert sich dadurch nicht. Jetzt überlege mal, weshalb die Matrix auf die untere Dreiecksform (Zeilenstufenform) gebracht wurde. Doch nicht nur aus Spaß an der Freud'. Die letzte Zeile bringt: $\begin{eqnarray} (1+a)z = 3+3a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1+a)z = 3(1+a) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ Nun kann eine Fallunterscheidung für den Wert von z erfolgen ... es gibt 2 Fälle. Im ersten Falle -> a = -1 kann z jeden beliebigen Wert annehmen, daher kann diesem z ein reeller Parameter t zugeordnet werden: z = t, mit dem wir dann für die Bestimmung der anderen Variablen weiterrechnen. Mittels der Lösung für z folgt durch Einsetzen in die zweite Zeile jene für y und letztendlich x aus der ersten Zeile. Damit erhältst du automatisch auch die von dir richtig angegebene allgemeine Parameterlösung. Hinweis: Es gibt einen Fall für eine eindeutige Lösung und einen für unendlich viele Lösungen, jedoch keinen Fall, in dem das System keine Lösung besitzt. Das liegt daran, dass für a = -1 das System lediglich abhängig wird, aber weiterhin kein Widerspruch entsteht. Kannst du das nun zu Ende führen (Angabe der Lösungsmenge für jeden der Fälle)? mY+
13.01.2009, 20:36	Ben3	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank dass du dir die Zeit für diese ausführliche Darstellung genommen hast! Insbesondere für die Bestätigung und Begründung, dass es keinen Wert für den Paramter a gibt, bei dem das GLS keine Lösung besitzt. Für die unendlich vielen Lösungen müsste $\begin{eqnarray} L = \{a \in \mathbb R \| a = -1\} \end{eqnarray}$ mit der allgemeinen Lösungsform $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gelten, oder? Nur für die eindeutige Lösung komme ich irgendwie nicht richtig weiter. Gilt hier $\begin{eqnarray} L = \{a \in \mathbb R \| a \neq -1\} \end{eqnarray*}$ ? Dann wäre es mir klar!
13.01.2009, 20:54	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt alles so. Du solltest aber noch das Lösungstripel für diesen Fall (a = -1) angeben: L = { -6; -3; 3} . mY+

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