Reihengrenzwert

12.01.2009, 14:09

Gugi

Reihengrenzwert

Hallo,

ich habe eine Reihe gegeben $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k\cdot (k+1)} \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß aufgrund dse Majorantenkriteriums, dass diese Reihe konvergiert. Nur leider, weiß ich nicht wie ich den Grenzwert ausrechnen soll?

Kann mir vielleicht jemand helfen?

12.01.2009, 14:12

Heinzer

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RE: Reihengrenzwert
Schreib den Zähler mal als k+1-k und zieh den Bruch dann auseinander.
Stichwort: Teleskopsumme!

12.01.2009, 16:31

Gugi

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RE: Reihengrenzwert
Ja gut,

dann ergibt sich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

Und da ja die harmonische Reihe keinen Grenzwert hat, kann ich doch keinen Grenzwert ausrechnen oder?

12.01.2009, 16:33

tmo

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RE: Reihengrenzwert

Zitat:

Original von Gugi
dann ergibt sich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

Die Umformung ist falsch, da sie nur gilt, wenn beide Reihen konvergent sind. Sind sie aber nicht.

Trotzdem ist die linke Reihe konvergent. Das nötige Stichwort hat dir Heinzer doch schon genannt. Man kann auch Google bemühen, wenn man mit einem Stichwort nichts anzufangen weiß Augenzwinkern

12.01.2009, 19:25

Gugi

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RE: Reihengrenzwert
Hallo, danke für die hilfreiiche Antwort, ich habe mich erst jetzt dann ausgekannt, was ihr gemeint habt.

Wenn ich die Glieder dieser Reihe auswerte und dann schließlich aufsummiere kommt für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}= (1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$ und da ja die Reihe konvergent ist, kann ich die Klammer beliebig setzten und es kommt dann 1 heraus, stimmt das?

Danke

12.01.2009, 20:20

Heinzer

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RE: Reihengrenzwert
Ne ne ne, schau noch mal genau hin...

Oder schreib Dir noch ein paar Reihenglieder mehr auf.
Es steht doch eigentlich schon alles da.

12.01.2009, 20:46

Heinzer

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RE: Reihengrenzwert
Sorry, hab total gepennt.

Stimmt natürlich. Es kommt 1 als Grenzwert raus.

Deine Argumentation wird aber schlüssiger wenn Du nicht direkt mit der unendlichen Reihe, deren Existenz noch gar nicht gesichert ist, loslegst.

z.B. so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Und erst dann solltest Du anfangen Limes-Begriffe ins Spiel zu bringen.

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