funktion auf stetigkeit untersuchen

12.01.2009, 14:10

michi321

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funktion auf stetigkeit untersuchen

Hi Leute!
ich bräuchte dringend hilfe bei der unteren funktion!
muss diese auf stetigkeit überprüfen.

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \end{eqnarray*}$ (X,Y) ungleich (0,0)
und für $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ (X,Y) = (0,0)

Wäre euch wirklich SEHR dankbar für jede Hilfe!

Ahja, sollte vielleicht noch sagen, dass ich ein absoluter Anfänger in latex bin! die kriterien für den bruch und für 0 sollten eigentlich nebeneinander stehen, hab das aber nicht hinbekommen, deswegen stehen sie untereinander!

12.01.2009, 14:15

tmo

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Also

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f(0,0)=(0,0) \end{eqnarray*}$

?

12.01.2009, 14:17

Heinzer

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RE: funktion auf stetigkeit untersuchen
Hast Du denn schon ne Idee ob das Teil in (0,0) stetig ist?

12.01.2009, 15:28

Heinzer

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Zitat:

Original von tmo
Also

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f(0,0)=(0,0) \end{eqnarray*}$

?

Das soll vermutlich bedeuten:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \left\{ \begin{array}{r@{\quad:\quad}l} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0)\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

So macht's auf jedenfalls Sinn.

12.01.2009, 15:32

tmo

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Kann sein, würde aber an der Aufgabe praktisch wegen $\begin{eqnarray*} \|(x,0)\|_2 = |x| \end{eqnarray*}$ nichts ändern Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.01.2009, 22:17

michi321

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@Heinzer

Super danke genau das wollte ich zusammen bekommen!
wie man sieht hab ich leider schon beim angabe abschreiben roße proleme! unglücklich

unglücklich

wäre wie gesagt super wenn mir wer weiter helfen könnte!

DANKE!

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12.01.2009, 22:29

tmo

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Bestimme mal $\begin{eqnarray*} f(x,0) \end{eqnarray*}$

13.01.2009, 10:12

Heinzer

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Oder Du betrachtest einfach mal $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{2}{n},\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ und machst dann eine simple Grenzwertbetrachtung unter der Annahme: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist stetig in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ .

14.01.2009, 10:37

michi321

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hi!

danke für euro antworten!

da liegt leider genau mein problem! ich hab keine ahnung wie ich euro tipps umsetzen soll, bzw. wie ich anfangen soll!

Vielleicht könnt ihr mir ja noch nen tipp geben!

Sonst trotzdem DANKE!!

14.01.2009, 10:44

Heinzer

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Also nochmal:

Berechne $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{2}{n},\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ !

Dann sollte Dir was auffallen.

14.01.2009, 11:09

michi321

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naja wenn ich f((2/n),(1/n)) einsetzt in (x^2 - y^2/x^2 + y^2) und ich rechne es au, kommt 3/5 raus oder als folge gesehen, dann geht die folge gegen 0.

geht das in die richtige richtung?

14.01.2009, 11:19

Heinzer

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Okay,
Du weisst also dass $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{2}{n},\frac{1}{n}\right)=\frac{3}{5} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Wogegen konvergieren $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

Wie ist das hinsichtlich Stetigkeit mit $\begin{eqnarray*} f(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ zu vereinbaren?

14.01.2009, 11:34

michi321

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naja 2/n und 1/n konvergiert gegen 0!

nur wie das mit der stetigkeit f(0,0)=0 vereinbar ist... ich komm leider auf keinen grünen zweig!

vielleicht dass die funktion von 0 bis 3/5 stetig ist?

14.01.2009, 11:49

Heinzer

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Nun, mit Stetigkeit in (0,0) ist das Verhalten der Funktion nicht vereinbar.

Es gilt ja:
Ist f stetig in a so gilt für jede Folge a_n, die gegen a konvergiert: lim f(a_n)=f(a).

Wir haben aber eine bestimmte Folge a_n gefunden, die gegen (0,0) konvergiert mit lim f(a_n)=3/5. Aber f(0,0)=0.

Dementsprechend kann f in (0,0) nicht stetig sein. (Kontraposition)

Ist Dir denn der Begriff 'Stetigkeit' anschaulich klar?

14.01.2009, 12:17

michi321

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naja leider nicht so richtig wie ich bemerke! ich finde im internet leider auch nicht viele erklärungen die halbwegs verständlich sind für einen nicht mathematiker!

das beispiel oben wäre dann damit eigentlich gelöst oder? die angabe war ja nur: "untersuchen sie die funktion auf stetigkeit"! oder gibt es da noch etwas zu zeigen?

lg...

14.01.2009, 12:26

Heinzer

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Sicher, diese Aufgabe ist damit erledigt.

Allerdings wirst Du mit Sicherheit in Schwierigkeiten kommen, wenn Dir ein solch elementarer Begriff wie Stetigkeit nicht sowohl anschaulich als auch formal vollkommen klar ist.

Hier: de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit solltest Du mal genau nachlesen.

14.01.2009, 12:35

Dual Space

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Sinnvoll ist sich vor Augen zu halten, dass Stetigkeit einer Funktion nur bedeutet, dass Grenzwerte und Funktionswerte übereinstimmen. Zugegeben etwas lax formuliert, aber meinen Studenten ist diese "Faustregel" meist hilfreich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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