Ringhomomorphismus

12.01.2009, 14:50

Sabinee

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Ringhomomorphismus

Es geht um folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} \phi: R\mapsto S \end{eqnarray*}$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ (d.h. $\begin{eqnarray*} \varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \varphi(xy)=\varphi(x)\phi(y) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \varphi(1)=1 \end{eqnarray*}$ ).
Zeigen Sie:

a) Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi: R^{n\times n}\mapsto S^{n\times n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi([a_{ij}])=[\varphi(a_{ij})] \end{eqnarray*}$ ist ein Ringhomomorphismus.

b) Das Diagramm $\begin{eqnarray*} det_n R: R^{n\times n}\mapsto R \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \varphi R \mapsto S \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \phi: R^{n\times n}\mapsto S^{n\times n} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} det_n S: S^{n\times n}\mapsto S \end{eqnarray*}$ kommutiert.

Leider weiß ich nicht wie ich die Aufgabe anfangen soll:

Bei a) muss ich denke ich zeigen, dass folgendes gilt:

i) $\begin{eqnarray*} \phi([a_{ij}])+\phi([b_{ij}])=\phi([a_{ij}+ b_{ij}]) \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} \phi([a_{ij}\cdot b_{ij}])=\phi([a_{ij}])\cdot \phi([b_{ij}]) \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} \phi([E_n])=E_n \end{eqnarray*}$

Hoffe ihr könnt mir helfen.

14.01.2009, 18:23

Sabinee

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RE: Ringhomomorphismus
Hat hier jemand ne Idee?

14.01.2009, 18:30

system-agent

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RE: Ringhomomorphismus

Zitat:

Original von Sabinee
Bei a) muss ich denke ich zeigen, dass folgendes gilt:

i) $\begin{eqnarray*} \phi([a_{ij}])+\phi([b_{ij}])=\phi([a_{ij}+ b_{ij}]) \end{eqnarray*}$
ii) $\begin{eqnarray*} \phi([a_{ij}\cdot b_{ij}])=\phi([a_{ij}])\cdot \phi([b_{ij}]) \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} \phi([E_n])=E_n \end{eqnarray*}$

Genau das musst du zeigen.

14.01.2009, 18:35

Sabinee

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RE: Ringhomomorphismus
Okay.

Wie fange ich denn dann am besten an?

Etwa so?

$\begin{eqnarray*} \phi[(a_{ij})]+\phi[(b_{ij})]=\varphi[(a_{ij})]+\varphi[(b_{ij})]=\varphi[(a_{ij}+b_{ij})]=\phi[(a_{ij}+b_{ij})] \end{eqnarray*}$
verwirrt

verwirrt

14.01.2009, 19:08

system-agent

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Du nimmst dir zwei Matrizen $\begin{eqnarray*} A\in R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\in R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ und dann überlegst du dir, wie man Matrizen addiert.
Du wirst sehr schnell wissen, dass man sie addiert, wenn man einfach ihre entsprechenden Einträge addiert. Also reicht es die Homomorphismus-Eigenschaften auf einem Eintrag zu überprüfen um zu zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \phi(A+B)=\phi(A)+\phi(B) \end{eqnarray*}$ gilt.

Ähnlich mit der Multiplikation. Mach dir zuerst klar, wie man die Matrizen den multipliziert und wieso es auch dort reicht, es auf einem Eintrag zu überprüfen.

Die dritte Eigenschaft sollte einigermassen trivial sein [auch hier, alles geht komponentenweise].

14.01.2009, 19:22

Sabinee

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$\begin{eqnarray*} A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & & & \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & & & & \\ b_{n1} & b_{n2} & b_{n3} & \cdots & b_{nn} \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A+B=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & & & & \\ a_{n1}+b_{n1} & a_{n2}+b_{n2} & a_{n3}+b_{n3} & \cdots & a_{nn}+b_{nn} \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

So addiert man Matrizen miteinander.
Was war an meiner Darstellung falsch?

Also ich habe meine Probleme einfach damit. Dass auf die Matrizen ja noch die Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ draufgeworfen wird.

Naja hoffe du kannst mir da sagen, was falsch dran ist.

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14.01.2009, 20:13

system-agent

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Du hast zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \phi(A+B)=\phi(A)+\phi(B) \end{eqnarray*}$ ist.
Nehmen wir uns mal einen Eintrag von $\begin{eqnarray*} A+B \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} a_{ij}+b_{ij} \end{eqnarray*}$
Nach Definition von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ als Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi:R^{n\times n}\to S^{n\times n} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \phi(A+B)=[\phi(a_{ij}+b_{ij})] \end{eqnarray*}$
(oder in Prosa: Das Bild einer Matrix ist nach Definition genau die Matrix der Bilder der Einträge der Matrix; wenn man penibel ist, müsste man sogar zwischen den Abbildungen $\begin{eqnarray*} \phi:R\to S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi:R^{n\times n}\to S^{n\times n} \end{eqnarray*}$ unterscheiden, denn sie sind streng genommen nicht die gleichen. Wenn es dir hilft, dann denke, dass du einen Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi:R\to S \end{eqnarray*}$ gegeben hast und nun eine andere Abbildung $\begin{eqnarray*} \psi:R^{n\times n}\to S^{n\times n} \end{eqnarray*}$ betrachtest, wobei $\begin{eqnarray*} \psi([a_{ij}])=[\phi(a_{ij})] \end{eqnarray*}$ definiert wurde, also auch wieder: Das Bild einer Matrix unter $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ wurde definiert als die Matrix der Bilder der Einträge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ unter dem gegebenen $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ).

So, nun:
$\begin{eqnarray*} \phi(A+B)=[\phi(a_{ij}+b_{ij})]=...=\phi(A)+\phi(B) \end{eqnarray*}$
[also genau das Bild der Matrix $\begin{eqnarray*} A+B \end{eqnarray*}$ ist die Matrix der Bilder der Einträge]
Nun nutze beim Ausfüllen der Pünktchen, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ schon ein Ringhomomorphismus ist.

14.01.2009, 20:21

Sabinee

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$\begin{eqnarray*} \phi(A+B)=[\phi(a_{ij}+b_{ij})]=[\phi(a_{ij})]+[\phi(b_{ij})]=\phi(A)+\phi(B) \end{eqnarray*}$

So ok?

14.01.2009, 20:37

system-agent

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Ja, das ist gut Freude

Freude

Auch wenn du vielleicht noch einen Zwischenschritt einfügen solltest:
$\begin{eqnarray*} [\phi(a_{ij}+b_{ij})]=[\phi(a_{ij})+\phi(b_{ij})] \end{eqnarray*}$
[denn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist ein Homomorphismus]
und dann darfst du die Matrix "auseinanderziehen".

Und jetzt ähnlich mit der Matrizmultiplikation.

14.01.2009, 20:42

Sabinee

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Super, Dankeschön smile

smile

Bei der Multiplikation, sollte das so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \phi(A\cdot B)=[\phi(a_{ij}\cdot b_{ij})]=[\phi(a_{ij})]\cdot [\phi(b_{ij})]=\phi(A)\cdot \phi(B) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

14.01.2009, 20:51

Sabinee

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Oh habe wieder den Zwischenschritt vergessen:

$\begin{eqnarray*} \phi(A\cdot B)=[\phi(a_{ij}\cdot b_{ij})]=[\phi(a_{ij})\cdot (b_{ij})]=[\phi(a_{ij})]\cdot [\phi(b_{ij})]=\phi(A)\cdot \phi(B) \end{eqnarray*}$

14.01.2009, 21:45

system-agent

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So multipliziert man aber keine Matrizen...

14.01.2009, 22:15

Sabinee

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Matrizenmultiplikation sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} c_{ij}=\sum_{k=1}^m~a_{ik}\cdot b_{kj} \end{eqnarray*}$

Wie wende ich das hier drauf an?

14.01.2009, 22:29

system-agent

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Du nimmst jetzt die multiplizierte Matrix $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ und die hat an der Stelle $\begin{eqnarray*} ij \end{eqnarray*}$ den Eintrag $\begin{eqnarray*} c_{ij} \end{eqnarray*}$ wie von dir geschrieben. Nun rechne:
$\begin{eqnarray*} \phi(AB)=[\phi(c_{ij})]=... \end{eqnarray*}$

15.01.2009, 18:24

Sabinee

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Hmm ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich da weitermachen soll.
Soll ich jetzt die Summe auf $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ loslassen?

15.01.2009, 18:35

system-agent

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Mach doch einfach da weiter, wo ich aufgehört habe:
$\begin{eqnarray*} \phi(AB)=[\phi(c_{ij})]=\left[\phi\left(\sum\limits_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\right)\right]=... \end{eqnarray*}$
Wie immer:
$\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist ein Homomorphismus und du sollst am Ende der "="-Kette dann $\begin{eqnarray*} =\phi(A)\cdot\phi(B) \end{eqnarray*}$ stehen haben, ähnlich wie bei der Addition schon.

15.01.2009, 18:38

Sabinee

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$\begin{eqnarray*} \phi(AB)=[\phi(c_{ij})]=\left[\phi\left(\sum\limits_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\right)\right]=[\phi(a_{ij})\cdot \phi(b_{ij})]=[\phi(a_{ij})]\cdot [\phi(b_{ij})]=\phi(A)\cdot \phi(B) \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

15.01.2009, 18:50

system-agent

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Was soll denn das jetzt? Wo ist die Summe hin?
Wenn ich sage "wie bei der Addition" heisst das nicht "identisch".
Nochmal: $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist ein Homomorphismus. Das heisst was passiert mit der Summe etc etc etc?

15.01.2009, 20:47

Sabinee

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$\begin{eqnarray*} \phi(AB)=[\phi(c_{ij})]=\left[\phi\left(\sum\limits_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\right)\right]=\sum\limits_{k=1}^n\left[\phi\left(a_{ik}b_{kj}\right)\right]=\sum\limits_{k=1}^n\left([\phi\left(a_{ik})\cdot \phi(b_{kj}\right)\right])=\sum\limits_{k=1}^n\left([\phi\left(a_{ik})]\cdot [\phi(b_{kj}\right)\right])=\phi(A)\cdot \phi(B) \end{eqnarray*}$

So evtl?

Also wie gesagt, so ganz da hinter bin ich noch nicht gekommen.

15.01.2009, 21:55

system-agent

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Nein, so nicht unglücklich

unglücklich

Schau mal her:
$\begin{eqnarray*} \phi(AB)=[\phi(c_{ij})]=\left[\phi\left(\sum\limits_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\right)\right]=\left[\sum\limits_{k=1}^n\phi(a_{ik}b_{kj})\right]=\left[\sum\limits_{k=1}^n\phi(a_{ik})\phi(b_{kj})\right]=\phi(A)\cdot\phi(B) \end{eqnarray*}$

Jetzt bist aber du dran mit begründen der einzelnen Schritte !

15.01.2009, 22:15

Sabinee

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Also ein Homomorphismus ist eine Lineare Abbildung.
Das heißt es gilt:

$\begin{eqnarray*} f(a+b)=f(a)+f(b) \end{eqnarray*}$ was deinen ersten Schritt erklärt indem du die Summe rausgeholt hast.

Außerdem gilt bei einer linearen Abbildung:

$\begin{eqnarray*} f(ab)=f(a)f(b) \end{eqnarray*}$ weswegen dein 2ter Schritt zu erklären ist.

Ja und dann erhält man das gewünschte Ergebnis.

Ist was falsch dran an meiner Erklärung?

16.01.2009, 00:19

system-agent

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Naja, so stimmt das nicht.

Nicht jeder Homomorphismus ist eine lineare Abbildung und ausserdem war in der Aufgabe nur die Rede von Ringhomomorphismen. Du solltest da viel genauer unterscheiden !

Der erste Schritt mit der Summe ist erlaubt, da man einen Ringhomomorphismus hat und dieser, weil er ein Ringhomomorphismus ist, gerade die Addition respektiert, ganz wie du das geschrieben hast.

Auch respektiert ein Ringhomomorphismus die Multiplikation wie du es geschrieben hast [Achtung: eine lineare Abbildung verhält sich im Allgemeinen überhaupt nicht so mit der Multiplikation - mal ganz davon abgesehen, dass man in Vektorräumen keine Multiplikation zur Verfügung hat und lineare Abbildungen genau Abbildungen zwischen Vektorräumen sind, welche die Vektorraumstruktut respektieren].

Ausserdem:
Der letzte Schritt ist einfach nochmals die Definition der Multiplikation von Matrizen, bloss "rückwärts".

16.01.2009, 16:01

Sabinee

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Stimmt bei einer linearen Abbildung gilt:

$\begin{eqnarray*} f(\lambda x)=\lambda f(x) \end{eqnarray*}$

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