Orthogonale Abbildung mit Standardskalarprodukt

12.01.2009, 17:24	Tu-er	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Abbildung mit Standardskalarprodukt Hallo, betrachtet wird der eukl. Vektorraum R^2 mit dem Standardskalarprodukt <x,y> und die Matrix Abbildung R^2 nach R^2 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a11x1 + a12x2 \\ a21x1 + a22x2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sei b= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Jetzt werden die Koeffizienten gesucht, damit der erste Spaltenvektor der Matrix A die Länge 1 hat und die Richtung von b hat und das die Matrix-Abb A orthogonal ist. so, ich bin mir nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe. Als Antwort habe ich die Koeffizienten : a11 = -1/5 , a12 = 0 , a21=0 und a22 = 1. Der erste Spaltenvektor der Matrix A hat doch dann die Länge 1, zeigt aber nicht in die Richtung von b oder? Und die Matrix-Abb. A wäre doch dann Orthogonal? Vielleicht könnt ihr mir helfen... grüße
12.01.2009, 20:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Abbildung mit Standardskalarprodukt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b =\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Normiere b bzgl. des Skalarprodukts (bzgl. der dadurch erhaltenen Norm), dann hast du die erste Spalte von A. $\begin{eqnarray} \hat b = \frac{1}{\sqrt{26}} b \end{eqnarray}$ Nun soll a eine orthogonale Matrix sein. Finde also einen normierten Vektor, der senkrecht auf der ersten Spalte steht. Das Skalarprodukt der Beiden muss 0 sein.
12.01.2009, 21:21	Tu-er	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Abbildung mit Standardskalarprodukt ist die erste Spalte nun $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{-5}{sqrt{26}} \\ \frac{1}{sqrt{26}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ?
12.01.2009, 21:29	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Abbildung mit Standardskalarprodukt Ich denke ich habe mich klar ausgedrückt. . Ja.
12.01.2009, 22:36	Tu-er	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Abbildung mit Standardskalarprodukt Wäre dann $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \frac{1}{5sqrt{26}} & 0 \\ 0 & sqrt{26} \end{vmatrix} \\ \end{eqnarray*}$ eine geeignete Matrix?
22.06.2009, 19:55	MaxTUB	Auf diesen Beitrag antworten »
Spaltenvektor?? Hm,.. Die Antwort hätte mich auch interessiert ... spracht ihr nicht beide von der ersten Spalte oder irre ich mich ??
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