EWs von transponierten Matrizen

12.01.2009, 16:52

tigerbine

EWs von transponierten Matrizen

Wie hängen die EW einer Matrix und ihrer komplex konjugiert transponierten zusammen? Sind das die komplex konjugierten und wie beweist man das?

Danke Wink

12.01.2009, 17:22

Mathespezialschüler

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Ja, genau das sind sie. Was ist denn das charakteristische Polynom? Das Transponieren ist ja bei der Determinantenbildung nicht von Belang. Der schwierigste Teil sollte der sein, zu zeigen, dass für jede Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \det\left(\overline A\right)=\overline{\det A} \end{eqnarray*}$

gilt. Guck dir dafür mal die Leibniz-Formel an.

12.01.2009, 17:40

tigerbine

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Gut. Dann war ich mit dem Fischer auf dem richtigen Weg. Und du hast recht, genau das ist mir nicht auf Anhieb einsichtig.

$\begin{eqnarray*} \det(A)=\sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \cdot a_{1 \sigma(1)} \cdot ... \cdot a_{n \sigma(n)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \det(\overline{A})=\sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \cdot \overline{a_{1 \sigma(1)}} \cdot ... \cdot \overline{a_{1 \sigma(1)}} \end{eqnarray*}$

Jetzt werde ich dafür wohl die Rechenregeln brauchen.

$\begin{eqnarray*} \overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot\bar z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \det(\overline{A}) &&=\sum_{\sigma \in S_n}\overline{ \text{sgn}(\sigma) \cdot a_{1 \sigma(1)} \cdot ... \cdot a_{1 \sigma(1)}} \\ &&=\overline{\sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \cdot a_{1 \sigma(1)} \cdot ... \cdot a_{n \sigma(n)}} \\&& = \overline{\det(A)} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

Zitat:

Was ist denn das charakteristische Polynom?

Eine Determinante. $\begin{eqnarray*} \chi(A)=\det(A-xI) \end{eqnarray*}$ Die Eigenwerte von A sind die Nullstellen von der char. Polynoms. Nun läuft es wieder unrund in meinem Hirn. Gesucht sind ja nun die Nullstellen von

$\begin{eqnarray*} \chi(\overline{A})=\det(\overline{A}-xI) \end{eqnarray*}$

Die Einheitsmatrix ist hermitisch. Aber was mache ich mit dem x?

12.01.2009, 21:48

Mathespezialschüler

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Soweit richtig, ja. Nun gilt doch $\begin{eqnarray*} x=\overline{\overline x} \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \chi_{\overline A}(x)=\det\left(\overline A-xI\right)=\det\left(\overline{A-\overline xI}\right)=\overline{\det\left(A-\overline xI\right)} \end{eqnarray*}$ .

Also ist $\begin{eqnarray*} \chi_{\overline A}(x)=0 \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \overline{\det\left(A-\overline xI\right)}=0 \end{eqnarray*}$ und das bedeutet was?

12.01.2009, 22:00

tigerbine

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Ok. "Doppelt gemoppelt". Nun weiter. Sei nun $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von A. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \det(A-x_0I)=0 \end{eqnarray*}$

Dann gilt auch:

$\begin{eqnarray*} \overline{\det(A-x_0I)}=0 \end{eqnarray*}$

Nun das ganze in die Klammer. Die Einheitsmatrix bleibt unverändert.

$\begin{eqnarray*} \det(\overline{A}-\overline{x_0}I)=0 \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} \overline{x_0} \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} \overline{A} \end{eqnarray*}$

richtig? Ups

12.01.2009, 22:07

Mathespezialschüler

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Richtig. Und die Umkehrung?! ; ) Und wie sieht es mit den Vielfachheiten aus? Bleiben die erhalten oder können die sich ändern?

12.01.2009, 22:21

tigerbine

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Ok, bislang ist gezeigt:

$\begin{eqnarray*} x \in \sigma(A) \Rightarrow \overline{x} \in \sigma(\overline{A}) \end{eqnarray*}$

Kann man die Argumentation wiederholen, weil $\begin{eqnarray*} \overline{(\overline{A})}=A \end{eqnarray*}$ gilt?

Für die Vielfachheiten fehlt mir eine Idee.

12.01.2009, 22:37

Mathespezialschüler

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Hm ich vermute, dass die Vielfachheiten übereinstimmen müssen, die Rechnung, die ich angesetzt hatte, scheint aber so einfach nicht zu funktionieren. Wenn du es also nicht brauchst, dann würde ich sagen, wir belassen es hierbei. ; )

12.01.2009, 22:43

tigerbine

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Brauche ich gerade nicht. Also stimmt die Argumentation für die Umkehrung?

Ich will mich dann noch "kurz" mit symmetrischen und hermitischen Matrizen beschäftigen. Da könnte ich auch ein Adlerauge brauchen.

Thanks. Wink

12.01.2009, 23:12

Mathespezialschüler

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Ja, die stimmt. Sorry, hatte vergessen, darauf einzugehen.

Falls du Fragen hast, nur zu. Augenzwinkern

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