Matrix zu gegebener Basis / Kern finden

12.01.2009, 18:49

Frage...

Matrix zu gegebener Basis / Kern finden

Hi,
Ich habe hier folgende Aufgabe die mir etwas Kopfzerbrechen bereitet:
Finden Sie eine Matrix A zu einer $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ , deren Kern $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und deren Bild $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ enth￤lt.Mein Vorgehen (bisher):Ich weiss, dass die Abbildung diese Form haben muss $\begin{eqnarray*} f_a: \mathbb R^3 -> \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , das hei￟t ich habe eine Matrix wie diese: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Nun setze ich die gegebenen Vektoren ein:
Kern: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & a_2 & a_3 \\ 0 & b_2 & b_3 \\ 1 & c_2 & c_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die letzte Zeile muss im Endeffekt herausfallen, also muss ich eine doppelt haben.
Fr das Bild gilt dann nun folgendes:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 0 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Soweit kam ich noch, aber was nun?

12.01.2009, 19:52

tigerbine

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RE: Matrix zu gegebener Basis / Kern finden
Die Matrix muss die Abmessung 4x3 haben. In den Spalten steht ein Erzeugendensystem des Bildes. Also sind 2 Spalten schon klar. Der Kern ist nicht trivial, also muss sich Spalte 3 aus 1 und 2 kombinieren lassen. Mit dem Wunsch nach dem Kernvektor ist sie sogar nur ein Vielfaches von Spalte 1.

12.01.2009, 20:17

Frage2...

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RE: Matrix zu gegebener Basis / Kern finden
Hey danke erstmal für die schnelle Antwort!

Zitat:

Original von tigerbine
Die Matrix muss die Abmessung 4x3 haben. In den Spalten steht ein Erzeugendensystem des Bildes. Also sind 2 Spalten schon klar.

Ist im Prinzip ja das was ich geschrieben habe oder? (Dummerweise habe ich die Spalten Zeilenweise aufgeschrieben wie bei der Berechnung)
Also sieht die Matrix doch bisher so aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & a_3 \\ 0 & 1 & b_3 \\ -1 & 2 & c_3 \\ 1 & 0 & d_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von tigerbine Der Kern ist nicht trivial, also muss sich Spalte 3 aus 1 und 2 kombinieren lassen. Mit dem Wunsch nach dem Kernvektor ist sie sogar nur ein Vielfaches von Spalte 1.

Das ist mir nicht ganz klar. Ich muss die dritte Zeile als Linearkombination der ersten beiden darstellen, sonst wäre die lineare Unabhängigkeit des Bildes verletzt. Aber wie bringe ich den Kern da nun mit rein?

12.01.2009, 20:56

tigerbine

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RE: Matrix zu gegebener Basis / Kern finden
Verletzt? Seltsam ausgedurückt. Es muss nun aber doch gelten

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & a_3 \\ 0 & 1 & b_3 \\ -1 & 2 & c_3 \\ 1 & 0 & d_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit ist klar, was in Spalte 3 stehen muss.

12.01.2009, 21:24

Danke!

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Ahh ja, das ergibt sogar Sinn! So im Nachhinein... Danke sehr!

Nur nochmal reflektierend für mich:
Der Dimensionssatz ergibt ja: dim Matrix = dim (Kern(Matrix)) + dim (Bild(Matrix)) = 3 = 1 + 2, also habe ich doch den vollständigen Kern und das vollständige Bild schon in der Aufgabe gegeben. Eine solche Aufgabe könnte ich doch ohne Probleme auch dann lösen, wenn ich z.B. nur ein Teil des Kernes oder des Bildes gegeben hätte. Im einem solchen Falle würde ich mir dann doch entsprechende Ergänzungen einfach willkürlich wählen, die ich jetzt gegeben hatte.

Achso das Ergebnis ist dann bei dieser Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & -6 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -3 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

12.01.2009, 21:30

tigerbine

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Du widersprichst dir selbst. Wenn nicht genügend Informationen bekannt sind, dann ist die Abbildung nicht eindeutig festgelegt. Die Matrix dann erst recht nicht.

12.01.2009, 21:44

Danke!

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12.01.2009, 21:46

tigerbine

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12.01.2009, 21:51

..Ergänzung

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Ah, sry für den Doppelpost. Vielleicht hatte ich mich auch unklar ausgedrückt..?

Wenn die Aufgabe z.B. lauten würde "Finden Sie eine 4x4 Matrix zu einer R-linearen Abbildung, deren Kern V_{1} und deren Bild V_{2} enthält". Also V_{1} und V_{2} sind dann beliebige 4 zeilige Vektoren. Bei einer solchen Aufgabe könnte ich ja z.B. laut Dimensionssatz annhemne, dass Kern und Bild jeweils zwei Elemente haben oder nicht?
Da die Aufgabe aber nicht weiter vorgibt wie diese auszusehen haben, sondern nur das die Elemente V_{1} bzw. V_{2} entsprechend enthalten sein müssen kann ich die anderen willkürlich wählen, insofern sie z.B. die lineare Unabhängigkeit voneinander beim Bild und die Formel f(v) = 0 für den Kern erfüllen oder?

12.01.2009, 21:58

tigerbine

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Ja, dann kannst du willkürlich wählen. Aber das ist dann eben nicht DIE Lösung , sondern nur EINE mögliche.

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