Eigenwerte symmetrischer / hermitischer Matrizen

13.01.2009, 01:12	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte symmetrischer / hermitischer Matrizen Dann machen wir mal weiter. Mit der Leibnizformel für die Determinate kann man nun auch zeigen, dass gilt (vgl. Fischer) $\begin{eqnarray} \det(A^T)=\det(A) \end{eqnarray}$ Was bedeutet das für die Eigenwerte von A und $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ ? Es ist $\begin{eqnarray} (A-xI)^T = A^T-xI \end{eqnarray}$ Somit folgt: $\begin{eqnarray} \det(A^T-xI) = \det((A-xI)^T)=\det(A-xI) \end{eqnarray}$ und die beiden Matrizen haben das gleiche Spektrum?
13.01.2009, 01:13	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Exakt.
13.01.2009, 01:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Wenn wir das jetzt für die adjungierte Matrix $\begin{eqnarray} A^=\overline{A}^T \end{eqnarray}$ machen wollen, müssen wir dann die beiden Erkenntnisse kombinieren? Es haben $\begin{eqnarray} \overline{A}^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline{A} \end{eqnarray}$ das gleiche Spektrum. Und das Spektrum von $\begin{eqnarray} \overline{A} \end{eqnarray}$ ist das komplex konjugierte von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Somit sind die EW von $\begin{eqnarray} \overline{A}^T \end{eqnarray*}$ die komplex konjugierten EW von A?
13.01.2009, 01:35	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so sollte es sein.
13.01.2009, 01:49	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann kommen wir nun zur Überschrift. Symmetrische und hermitische Matrizen besitzen ein reelles Spektrum. Das muss nun aber noch bewiesen werden. Ich glaube das ging über einen Ansatz in der Form $\begin{eqnarray} v^Av=xv^v \end{eqnarray}$ Und dann das irgenwie mit A*.
13.01.2009, 02:40	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja der Ansatz ist, dass man den Eigenwert in die Komponente hereinzieht, die die Adjunktion verursacht. Sei also $\begin{eqnarray} Av=xv \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \overline x\cdot \|v\|^2=\overline x\cdot v^v=(xv)^v=(Av)^v=\ldots \end{eqnarray*}$ . Jetzt darfst du weiter machen.
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13.01.2009, 02:44	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \overline x\cdot \|v\|^2=\overline x\cdot v^v=(xv)^v=(Av)^v=v^A^v =v^Av = x \cdot \|v\|^2 \end{eqnarray}$ .
13.01.2009, 03:23	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was gilt definitionsgemäß für Eigenvektoren $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ?
13.01.2009, 11:36	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass sie von Null verschieden sind. Somit muss gelten. $\begin{eqnarray} \overline{x}=x \end{eqnarray}$
13.01.2009, 19:47	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Jup, genau so ist es.
13.01.2009, 19:48	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Merci.

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