Q adjungiert Wurzel(p), Wurzel(q)

13.01.2009, 08:37

SvenAlgebra

Q adjungiert Wurzel(p), Wurzel(q)

Hallo

Ich habe ein Problem bei einer Aufgabe, bei der ich die Gleichheit zweier Mengen zeigen soll. Leider bin ich mir nicht ganz sicher wie die Mengen aussehen.
Also, sei
$\begin{eqnarray*} L = \mathbb Q(\sqrt{p},\sqrt{q}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M = \mathbb Q(\sqrt{p}+\sqrt{q}) \end{eqnarray*}$
Dabei sind p und q verschiedene Primzahlen.

Ich dachte, die Mengen würden so aussehen:
$\begin{eqnarray*} L = \{a + b\sqrt{p} + c\sqrt{q} + d\sqrt{pq}\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M = \{e + f(\sqrt{p}+\sqrt{q})\} \end{eqnarray*}$ , mit a,b,c,d,e,f aus Q.

Aber das würde ja bedeuten, wenn ich z.B. p=2 und q=3 wähle, dass ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} = e + f\sqrt{2}+f\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ schreiben kann.
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} 6 - 2e\sqrt{6} + e^2 = 2f^2 + 2f^2\sqrt{6} + 3f^2 \end{eqnarray*}$

Also gilt $\begin{eqnarray*} 2f^2 = -2e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5f^2 = 6+e^2 \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} f^2 = -e = \frac{6}{5} + \frac{e^2}{5} \Rightarrow e^2 + 5e + 6 = 0 = (e+\frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e = -2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e = -3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^2 = 2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f^2 = 3 \end{eqnarray*}$ . Widerspruch

Habe ich mich nun verrechnet, oder sind meine Mengen oben schon falsch?

13.01.2009, 09:44

therisen

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RE: Q adjungiert Wurzel(p), Wurzel(q)

Zitat:

Original von SvenAlgebra
Habe ich mich nun verrechnet, oder sind meine Mengen oben schon falsch?

Die Menge M ist falsch.

13.01.2009, 10:03

SvenAlgebra

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OK. Danke.
Ich hab jetzt auch gerade bemerkt, dass das ja der Körper ist, der zumindest die Elemente, die ich angegeben habe, beinhalten muss. Und übers Produkt kommt man auch auf Elemente mit [latex}\sqrt{pq}[/latex].

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