nochmal: Vollständige Induktion
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13.01.2009, 09:47 Lisa1989 Auf diesen Beitrag antworten »
nochmal: Vollständige Induktion
Aufgabe: Das Quadrat jeder ungeraden natürlichen Zahl lässt bei Duvision durch 8 den Rest 1.

Meine Lösung:
(2n+1)^2 = 8n+1

I-Anfang: Für n=1 gilt:
(2*1+1)^2 = 8*1+1
9=9 offensichtlich wahr

I-Schritt:
I- Vorraussetzung:
(2n+1)^2 = 8n+1

I-Behauptung: Für diesen Nachfolger n+1 gilt:
(2(n+1)+1)^2 = 8(n+1)+1
= 8n + 9
I Beweis:
(2(n+1)+1)^2 = (2n+1+2)^2
= (2n+1)^2 + 2^2
= 8n+1 + 2^2 laut I Vorraussetung
jetzt komme ich nicht mehr weiter. Ist es denn so richtig? Wie könnte ich weitermachen?
13.01.2009, 09:53 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nochmal: Vollständige Induktion
Zitat:
Original von Lisa1989
Meine Lösung:
(2n+1)^2 = 8n+1

Hier ist dein Ansatz falsch. Das n auf der rechten Seite muß nicht zwangsläufig das gleiche n wie auf der linken Seite sein.

Es muß heißen: zu jedem n aus N gibt es ein k aus N mit: (2n + 1)² = 8k + 1
13.01.2009, 10:01 Lisa1989 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, okay. Also dann so:
I- Anfang: Für n= 1 gilt:
(2*1+1)^2 = 8k+1
9 = 8k+1
8= 8k
1= k
I-Anfang ist wahr, da durch 8k + 1 teilbar

I Schritt:
I Vorraussetzung:
(2n+1)^2 = 8k + 1
I- Behauptung
(2(n+1))^2 = 8k +1

I Beweis:
(2(n+1))^2 = (2n +2 + 1 )^2
= (2n + 1) ^2 + 2^2
= 8k + 1 + 2^2

und wie mache ich jetzt weiter?
13.01.2009, 10:15 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt ganz dringend sauberer in deinen Formulierungen werden.

Zitat:
Original von Lisa1989
I-Anfang ist wahr, da durch 8k + 1 teilbar

Nein. I-Anfang ist wahr, da es ein k gibt (nämlich k=1), das die Gleichung erfüllt.

Zitat:
Original von Lisa1989
I Vorraussetzung:
(2n+1)^2 = 8k + 1

Richtig formuliert: es gibt ein k_0 mit: (2n+1)² = 8k_0 + 1

Zitat:
Original von Lisa1989
I- Behauptung
(2(n+1))^2 = 8k +1

Richtig formuliert: es gibt ein k_1 mit: (2(n+1)+1)² = 8k_1 + 1

Zitat:
Original von Lisa1989
(2(n+1))^2 = (2n +2 + 1 )^2
= (2n + 1) ^2 + 2^2

Kannst du erklären, wie du von der ersten zur zweiten Zeile kommst?
13.01.2009, 10:49 Lisa1989 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habe da was vergessen...ich komme von der ersten zur zweiten Zeile durch:

(2(n+1))^2 ausmultipliziert = (2n+2+1)^2 dann vertausche ich die 1 und die 2 und "teile es auf" = (2n+1)^2 + 2^2 kann man das nicht so machen? oder ist es nicht sinnvoll?
13.01.2009, 11:18 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich Machen wir mal einen kleinen Test: 25 = (3 + 2)² = 3² + 2² = 13

Schon mal was von binomischen Formeln gehört?
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13.01.2009, 11:21 Lisa1989 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man bin ich blöd- ich versuche es nachher damit nochmal. Muss jetzt erst los. Danke schon mal!
13.01.2009, 18:39 Lisa1989 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm also irgendwie kriege ich die Lösung immernoch nicht raus.

(2(n+1)+1)^2 = (2n+3)^2 = 4n^2 + 12n + 9 = 4n^2 + 4n + 1 +8n +7 = (2n+1)^2 +8n+7 =8k+1+8n +7

Jetzt weiß ich mal wieder nicht weiter. wir kriege ich diese aufgabe hin? was ist der trick?
14.01.2009, 08:36 Lisa1989 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab meinen Fehler schon gefunden...die 7 muss zur 8 werden.
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