stetigkeit und diffbarkeit

13.01.2009, 10:39

medion

stetigkeit und diffbarkeit

Für eine reelle Zahl x bezeichnet {x} den Abstand zur nächsten ganzen Zahl. Zu zeigen: Für $\begin{eqnarray*} x \in [0; 1] \end{eqnarray*}$ ist
die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{n=1}^ \infty ~ \frac{\{ 10^{n}*x\} }{10^{n}} \end{eqnarray*}$
1.stetig und 2.nirgends dierenzierbar.

also da weiß ich nicht so recht wie ich da rangehen soll
stetigkeit müsste ich ja mit epsilon-delta beweis machen:

$\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

aber ich weiß nicht wie

2. is a noch ne ecke schwieriger. wir haben diffbarkeit so ein geführt das der folgende grenzwert existiert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x_0 \to x}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

wäre über jede hilfe froh

13.01.2009, 11:12

Dual Space

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RE: stetigkeit und diffbarkeit

Zitat:

Original von medion
Für eine reelle Zahl x bezeichnet {x} den Abstand zur nächsten ganzen Zahl.

Zur nächst größeren, zur nächst kleineren, oder zur nächst gelegenen ganzen Zahl?

13.01.2009, 12:18

medion

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zur nächstgelegenen ganzen Zahl, is da gemeint

13.01.2009, 13:03

Dual Space

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Ist der Abstand signiert? Also ist er negativ, wenn die nächst gelegene ganze Zahl die kleinere ist?

13.01.2009, 13:10

medion

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ne ich denke nicht,ist wohl so gemeint:

zum bsp:
x=1/3 ->{x}=1/3
x=2/3 ->{x}=1/3

ich denke das es so gemeint ist

13.01.2009, 13:22

Dual Space

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Dann kannst du $\begin{eqnarray*} \{x\} \end{eqnarray*}$ auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} \min\{x-[x];1-x+[x]\}, \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} [x]:=\max\{z\in\mathbb{Z}:z\leq x\} \end{eqnarray*}$ die Gaußklammer bezeichnet. Evtl. hilft dir das schon dabei, wenn du einfach mal anfängst und |f(x)-f(y)| abschätzt.

Wenn $\begin{eqnarray*} \{x\} \end{eqnarray*}$ hingegen nur den Abstand zur nächst kleineren Zahl bedeuten würde, wäre die Sache schon einfacher, denn in dem Falle wäre einfach

$\begin{eqnarray*} \{x\}=x-[x]. \end{eqnarray*}$

13.01.2009, 13:25

tmo

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Man könnte auch zeigen, dass die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{\{10^k \cdot x\}}{10^k} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergiert.

13.01.2009, 14:49

medion

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ok wenn ich das benutze komm ich darauf, (bin mir allerdings nicht so sicher ob ich die abschätzungen machen darf: $\begin{eqnarray*} \frac{[10^{n}*x]}{10^{n}}\leq x \end{eqnarray*}$

dafür dass x-[x] das min ist

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)|=|\sum_{n=1}^ \infty ~ \frac{\{ 10^{n}*x\} }{10^{n}}-\sum_{n=1}^ \infty ~ \frac{\{ 10^{n}*x_0\} }{10^{n}}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\sum_{n=1}^ \infty ~ \frac{10^{n}*x-[10^{n}*x]}{10^{n}}-\sum_{n=1}^ \infty ~ \frac{10^{n}*x_0-[10^{n}*x_0]}{10^{n}}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\sum_{n=1}^ \infty ~x- \frac{[10^{n}*x]}{10^{n}}-\sum_{n=1}^ \infty ~x_0- \frac{[10^{n}*x_0]}{10^{n}}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq|\sum_{n=1}^ \infty ~x-x-\sum_{n=1}^ \infty ~x_0- x_0|=0<\epsilon \end{eqnarray*}$

dafür dass 1-x+[x] das min ist:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)|=|\sum_{n=1}^ \infty ~ \frac{\{ 10^{n}*x\} }{10^{n}}-\sum_{n=1}^ \infty ~ \frac{\{ 10^{n}*x_0\} }{10^{n}}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\sum_{n=1}^ \infty ~ \frac{1-10^{n}*x+[10^{n}*x]}{10^{n}}-\sum_{n=1}^ \infty ~ \frac{1-10^{n}*x_0+[10^{n}*x_0]}{10^{n}}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\sum_{n=1}^ \infty ~\frac{1}{10^{n}}-x+ \frac{[10^{n}*x]}{10^{n}}-\sum_{n=1}^ \infty ~\frac{1}{10^{n}}-x_0+ \frac{[10^{n}*x_0]}{10^{n}}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq|\sum_{n=1}^ \infty ~\frac{1}{10^{n}}-x+x-\sum_{n=1}^ \infty ~\frac{1}{10^{n}}-x_0+x_0 | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\sum_{n=1}^ \infty ~\frac{1}{10^{n}}-\sum_{n=1}^ \infty ~\frac{1}{10^{n}}|=0<\epsilon \end{eqnarray*}$

13.01.2009, 18:16

medion

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stimmt das denn so?

und wie siehts auf mit nachweis für differenzierbarkeit, dann kann ich auch nicht

13.01.2009, 19:57

Dual Space

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Du hast "gezeigt", dass f konstant Null ist. Augenzwinkern