probleme mit ableiten der e funktion

13.01.2009, 13:26

eey

probleme mit ableiten der e funktion

hallo zusammen, hab schon wieder ne frage zu ner neuen aufgabe rund ums ableiten...

also hab die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^x+e^{-2x} \end{eqnarray*}$

gegeben, von der ich die extremstellen bestimmen soll-
also muss ich ja die erste und zweite ableitung dieser Funktion bestimmen:
Die erste ableitung fiel mir ja noch leicht, einfach per logarithmischer
differentiation:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(e^x)'+(e^{-2x})' \end{eqnarray*}$

so, der erste summand ist ja easy, halt einfach wieder die e-funktion,
beim zweiten logarithmier ich in einem zwischenschritt:

$\begin{eqnarray*} y=e^{-2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lny=-2xln(e) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y'}{y}=-2 \end{eqnarray*}$

jetzt multipliziere ich y auf die rechte seite rüber und erhalte

$\begin{eqnarray*} y'=-2e^{-2x} \end{eqnarray*}$

so dass setz ich jetzt oben für meinen zweiten summanden ein und hab
die erste ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^x-2e^{-2x} \end{eqnarray*}$

ok soweit so gut, jetzt muss ich aber auch noch die zweite ableitung bestimmen,
und da setzts aus bei mir:
ich mach halt genauso weiter wie bei der ersten ableitung (der erste summand
e^x ist ja eh wieder e^x abgelitten):

$\begin{eqnarray*} y=2e^{-2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (lny)'=\left(-2x*(ln2+1)\right)' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y'}{y}=(-2x)'(ln2+1)+(-2x)(ln2+1)' \end{eqnarray*}$

so, der zeite teil der ableitung ist ja 0 da ln2+1 eine konstante Funktion ist...
somit bleit nur noch der teil links neben dem pluszeichen übrig:

$\begin{eqnarray*} \frac{y'}{y}=-2(ln2+1) \end{eqnarray*}$

und damit ist die ableitung, wenn man y nach rechts rübermultipliziert gleich:

$\begin{eqnarray*} y'=-2(ln2+1)2e^{-2x} \end{eqnarray*}$

so, und jetzt kommt der springende punkt, was ich nicht versteh:

dieser ausdruck ist laut meinem matheprogramm gleich

$\begin{eqnarray*} -2(ln2+1)2e^{-2x}=-4e^{-2x} \end{eqnarray*}$

somit wäre die zweite Ableitung gleich

$\begin{eqnarray*} f''(x)=e^x+4e^{-2x} \end{eqnarray*}$

und dieses ergeniss stimmt auch, sagt sowohl unsere komplettlösung als auch mein
matheprogramm, mit dem ich das überprüft habe....

aber warum???
ich mein multiplizier ich die -2 in die 2-funktion steht da zwar -4 davor,
aber der(ln2+1) bleibt doch noch da oder? aber wieso fällt der einfach weg,
das versteh ich gar nicht???? unglücklich

weil, auch wenn ich zahlen für das x einsetzte, kommt bei beiden was verschiedenes
raus, das dürfte doch auch nicht sein oder??

hoffe mir kann jemand hier weiterhelfen,

grüße

eey

13.01.2009, 13:28

Dual Space

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RE: probleme mit ableiten der e funktion
Nach Kettenregel ist $\begin{eqnarray*} (e^{cx})'=ce^{cx} \end{eqnarray*}$ für alle reellen Konstanten c. Wozu also der riesen Aufwand? So kommst du auch auf die zweite Ableitung.

13.01.2009, 13:29

tmo

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Sagt dir das Wort Kettenregel etwas?

13.01.2009, 13:33

eey

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ja schon, aber es muss doch mit logarithmischer differentiation auch gehen,
oder?

also ich will das halt üben, und das problem hier ist ja nicht das ableiten an sich
sondern das zusammenfassen, also wieso der term

$\begin{eqnarray*} -2(ln2+1)2e^{-2x}=-4e^{-2x} \end{eqnarray*}$

identisch ist...

das würd ich einfach gern kapieren verwirrt

eey

13.01.2009, 13:44

Dual Space

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Zitat:

Original von eey
ja schon, aber es muss doch mit logarithmischer differentiation auch gehen,
oder?

Viele Wege führen nach Rom. Mach es doch nicht unnötig kompliziert.

13.01.2009, 14:20

tmo

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RE: probleme mit ableiten der e funktion

Zitat:

Original von eey
$\begin{eqnarray*} y=2e^{-2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (lny)'=\left(-2x*(ln2+1)\right)' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y'}{y}=(-2x)'(ln2+1)+(-2x)(ln2+1)' \end{eqnarray*}$

Das ist falsch und ich weiß auch nicht, was du da gerechnet hast.

Es ist $\begin{eqnarray*} \ln (2e^{-2x}) = \ln (2) - 2x \end{eqnarray*}$

Aber wie gesagt: Der Einsatz logarithmischer Differentiation scheint ziemlich beschränkt zu sein, hab das jetzt in letzter Zeit 2 mal hier im Board gesehen und jedes mal reagierten Helfer mit Unverständnis bzgl. der Vorgehensweise. Also kümmer dich nicht weiter drum Big Laugh

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