Basiswechsel-Koordinaten-Komponenten: lineare Un-/abhängigkeit (Skalarprodukt)

13.01.2009, 15:05

Flammi

Basiswechsel-Koordinaten-Komponenten: lineare Un-/abhängigkeit (Skalarprodukt)

Hallo zusammen,

ich hoffe mein Titel ist einigermaßen aussagekräftig, hatte keine Ahnung wie ich es benennen soll und deswegen einfach die Überschrift in meinem Matheheft genommen.

Ich habe folgende Aufgabenstellung:

Zitat:

a) Zeige das $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b} und \vec{c} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind und deshalb eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R³ \end{eqnarray*}$ bilden

Jetzt hab ich mir gestern von meinem Bruder bissel was erklären lassen und weiß jetzt dass ich dass gauß'sche Verfahren anwende und dann abhängig von den Rängen (Ak) und (Ae) sagen kann ob l.u. oder l.a.

Jetzt meinte mein Bruder, dass das auch durch die Formel des Skalarproduktes möglich ist, aber er sich ned erklären kann warum das in dem Fall net geht, er aber nicht weiß warum.

Jetzt hab ich folgende Vektoren gegeben:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{b}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{c}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Formel für das Skalarprodukt kann ich für:
$\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ machen und komm auf den Nullvektor aber nicht für z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ weil halt nicht Null rauskommt.

Naja ich weiß ja, dass es reicht wenn 2 Vektoren parallel (um zu zeigen dass l.a.), was ja in dem Fall des Skalarproduktes auch so ist. Oder lieg ich da falsch?
Also ich mein, dass ich das mit allen Vektoren mach: a*b, b*c, a*c
Und da b*c=0-Vektor kann ich sagen dass b und c parallel sind und somit l.a.

Und dann noch eine zweite Frage, der zweite Teil dieser Aufgabe:

Zitat:

b) Berechne die Komponenten (=Koordinaten) von $\begin{eqnarray*} \vec{d}\begin{pmatrix} 4\\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzgl. der Basis B ={ $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b} ,\vec{c} \end{eqnarray*}$ }

Ich hab keine Ahnung was da von mir eigentlich verlangt wird. Also ich brauch nicht den mathematischen Lösungsweg, den habe ich vor mir aber irgendwie bringt der mir net viel.
Also es wird wieder Gauß'sche Verfahren angewendent, dann x1, x2, x3 berechnet.

Und die Werte sind dann die Koordinaten von Vektor d bzgl. der Basis B.

Wäre schön wenn mir das jemand erklären könnte was das jetzt eigentlich bedeutet.

Viele Grüße und Dank im Voraus smile

13.01.2009, 15:29

riwe

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RE: Basiswechsel-Koordinaten-Komponenten: lineare Un-/abhängigkeit (Skalarprodukt)
sehr kon-/diffus dein vortrag.

du kannst das über das spatprodukt zeigen, nicht über das skalarprodukt,
die forderung ist:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}\times\vec{b}\cdot\vec{c}\neq 0 \end{eqnarray*}$

13.01.2009, 15:41

klarsoweit

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RE: Basiswechsel-Koordinaten-Komponenten: lineare Un-/abhängigkeit (Skalarprodukt)

Zitat:

Original von Flammi
Naja ich weiß ja, dass es reicht wenn 2 Vektoren parallel (um zu zeigen dass l.a.), was ja in dem Fall des Skalarproduktes auch so ist. Oder lieg ich da falsch?
Also ich mein, dass ich das mit allen Vektoren mach: a*b, b*c, a*c
Und da b*c=0-Vektor kann ich sagen dass b und c parallel sind und somit l.a.

Es können aber auch 3 Vektoren linear abhängig sein, aber das Skalarprodukt paarweise immer ungleich Null sein.
Beispiel: (1, 0), (1, 1), (1, 2) smile

13.01.2009, 16:03

Flammi

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Hallo, danke für eure Beiträge.

@klarsoweit könntest du dein Beispiel genauer erklärn, ich versteh das net so ganz.

Also wenn ich richtig verstehe, meintest du dass selbst wenn ich das Skalarprodukt bei den drei Vektoren anwende, und bei nicht 0 rauskomt dass dann trotzdem l.a. sein können? Dann ist das Skalarprodukt in dem Fall unbrauchbar? ^^

Und letztendlich kann ich nur gauss machen?

Liebe Grüße

13.01.2009, 16:25

riwe

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steht doch in beiden beiträgen:
das skalarprodukt ist unbrauchbar.

auch zum rest: lesen sollte man können, das hilft smile

13.01.2009, 17:50

Flammi n. e.

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Zitat:

Original von riwe
steht doch in beiden beiträgen:
das skalarprodukt ist unbrauchbar.

auch zum rest: lesen sollte man können, das hilft smile

Wenn ich aber nicht sicher bin ob ich etwas richtig verstanden habe, dann ist es doch nachvollziehbar, dass ich nochmal nachfrage!

Nett dass du nochmal antwortest, aber ein freundlicherer Ton wäre durchaus angebracht gewesen Augenzwinkern

13.01.2009, 18:06

riwe

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Zitat:

Original von Flammi n. e.

Zitat:

Original von riwe
steht doch in beiden beiträgen:
das skalarprodukt ist unbrauchbar.

auch zum rest: lesen sollte man können, das hilft smile

anonyme kommentare sind ein zeichen von zivilcourage unglücklich

13.01.2009, 19:10

Flammi

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RE: Basiswechsel-Koordinaten-Komponenten: lineare Un-/abhängigkeit (Skalarprodukt)
Um zu zeigen, dass die drei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \end{eqnarray*}$ eine Basis im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ bilden, genügt es ja zu zeigen, dass sie paarweise aufeinander senkrecht stehen. Und aus der Definition des Skalarprodukts ergibt sich ja $\begin{eqnarray*} \vec{a} \circ \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b} \end{eqnarray*}$ .
Somit müsste, wenn ich meine drei Vektoren paarweise skalar multipliziere, jedes Mal Null erhalten, wenn diese aufeinander senkrecht stünden.

Soweit richtig?

edit: Überflüssiges Komma entfernt.

14.01.2009, 11:17

Nubler

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\text{ und }\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bilden eine basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , sind jedoch nicht orthogonal...

weisst du, in welchen zusammenhang ein beliebiger vektor mit den basisvektoren steht?

14.01.2009, 13:32

Flammi

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Ok, jetzt weiß ich wo der Denkfehler lag smile

Danke

Ein beliebiger Vektor wird durch die Basisvektoren dargestellt

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