Momenterzeugendefunktion, kurze Frage

05.09.2006, 01:28	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Momenterzeugendefunktion, kurze Frage Ich hab grad in meinem Buch die Berechnung der Momente mit Hilfe der Ableitung der momenterzeugenden Funktion gehabt und frag mich grad, wie man leicht erkennen kann wann es die Vorraussetzungen zur Anwendung des folgenden Satzes gibt: Sei X eine Zufallsvariable mit momenterzeugender Funktion $\begin{eqnarray} M : D \to \mathbb{R} \\| D := \{s \in \mathbb{R} : E[exp(sX)] < \infty \} \end{eqnarray}$ Existiere ausserdem ein Interval $\begin{eqnarray} (-a,a) \subset D \end{eqnarray}$ für ein a > 0, so sind alle Momente $\begin{eqnarray} E[X^n] \end{eqnarray}$ endlich und es gilt: $\begin{eqnarray} M(s) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{s^n}{n!}E[X^n] \\| s \in (-a,a) \end{eqnarray}$ und insbesondere gilt, da M auf dem Intervall unendlich oft differenzierbar ist das $\begin{eqnarray} M^{(n)}(0) = E[X^n] \end{eqnarray}$ Das heißt hat man dieses Interval und die Momenterzeugende Funktion lassen sich die momente sehr schön berechnen. Ich frag mich nur wann es aufwandsmäßig Sinn macht und wie ich Intervalle, wenns denn geht, finde. Macht man das praktisch überhaupt?
05.09.2006, 02:19	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, besitzt X jetzt eine Dichte $\begin{eqnarray} f_X \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} M(s) = E(e^{sX}) = \int_{-\infty}^\infty e^{sx}f_X(x)\;dx \end{eqnarray}$ und insbesondere $\begin{eqnarray} M(0) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)\;dx = P(X\in\mathbb{R}) = 1. \end{eqnarray}$ Man muss also nur schauen, ob das Integral für betrgsmäßig kleine s existiert. Alternativ kann man dann natürlich auch direkt $\begin{eqnarray} E\|X\|^n = \int_{-\infty}^\infty \|x\|^nf_X(x)\;dx \end{eqnarray}$ betrachten. Kommt eben ganz auf die Verteilung (hier speziell die Dichte) an.

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