Diagonalisierbar

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energyfull Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbar
hi leute, habe eine frage wie ich überprüfen kann ob eine matrix in den körpern



diagonalisierbar ist?

z.b.

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalisierbar
Wie ist denn Diagonalisierbarkeit definiert? Danach sollte ein Satz kommen, der die entsprechenden Bedingungen vorgibt.
 
 
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

eine matrix A ist doch diagonalisierbar, wenn es ein gibt, so dass eine Diagonalmatrix ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist zwar schön, hilft aber doch nicht wirklich bei der Konstruktion weiter. Deswegen solltest du ja auch in den Folgesatz schauen. Stichworte Eigenwerte, alg. und geom. Vielfachheiten.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe mir mal auch die definition von eigenwerten angeschaut,
sei f:V->V ein endormorphismus:

also ein skalar heisst eigenwert von f falls es ein , gibt mit


??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss das char. Polynom in Linearfaktoren zerfallen und die alg. und geom. Vielfachheiten müssen übereinstimmen. Lektüre: Fischer - Lineare Algebra. Google books gibt mir leider keine Vorschau.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich habe das buch, zur char. polynom:



aber wie kann ich denn beweisen, dass diese matrix in diesen körpern diagonalisierbar ist?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

bestimme die eigenwerte. prüfe ihre geom. Vielfachheit.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich habe die eigenwerte der Matrix A berechnet und habe ca.

x1=4,541 und x2=-1,541 raus

aber das hier habe ich nicht verstanden:
"prüfe ihre geom. Vielfachheit. "
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

ca. hilft hier nicht weiter, und über welchem Körper?

geometrische Vielfachheit = Dimension der Eigenräume.

Hat du absichtlich eine symmetrische Matrix gewählt?
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

nein, es ist ja mein problem, ich weiss nicht wie man das über die einzelnen körper macht?? gibt es für die körper unterschiedliche rechenwege??


(p.s. wegen ca. die zahl war zu lang )
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Komm, das char. Poly war eine quadratische Funktion. Die Wurzel hättest du schon angeben können. Augenzwinkern

Wie lautet das char. Polynom?

Der Weg ist gleich. Die Koeffizienten musst du als Elemente des jeweiligen Köpers betrachten. Über IR ging hier noch alles gut. Bei 2 veschiedenen einer 2x2 Matrix ist diese dann auch diagonalisierbar, weil algVF = 1 = geoVF.

Was sind den irreduzible Polynome über einem Körper?
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

das char. polynom lautet:



"Was sind den irreduzible Polynome über einem Körper?"

was heisst eigentlich irreduzible??

und algVF = 1 = geoVF


hatten wir gar nicht??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz einfach, wenn ich ein Polynom nicht weiter über einen Körper faktorisieren kannt. Einfachstes Beispiel.



ist irreduzibel über IR, aber im Komplexen gilt:

[late]p(x)=(x-i)(x+i)[/latex]

Nun tauch in der Lösungsformel eine Wurzel auf. Die "geht" auch nicht weg. Kannst du das Polynom also über Q faktorisieren? Nein. Das ist aber notwendige Voraussetzung für Diagonalisierbarkeit. Also geht das nicht über Q.

Für F2 ist deine Matrix schon "falsch", denn da stehen ja nicht nur Elemente aus F2 drin. wie schaut die über F2 aus?
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

meine matrix würde über so aussehen:




aber warum ist jetzt diese nicht diagonalisierbar?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wieder müssen wir uns das char. Poly anschauen. Bedenke wir sind in F2.




Nun ist es hier ja relativ leicht auf Nullstellen zu prüfen. Setze 0 und 1 ein. Beides führt nicht zum Erfolg. Also nicht diagonalisierbar.

Wir hätten auch deine Berechnung nach F2 übersetzen können:



energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke, also ist die matrix bei nicht diagonalisierbar, ok weiter, bei sieht die matrix:




und das hatten wir ja bereits ausgerechnet, sie ist diagonalisierbar,


und wie ist es bei
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Moment mal. Da war sie über IR diagonalisierbar. F7 ist ja noch überschaubar. Setzt mal ins charpoly ein.

Q ist Teilmenge in IR. Aber wo lagen denn die Nullstellen in IR?
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von energyfull
ok ich habe die eigenwerte der Matrix A berechnet und habe ca.

x1=4,541 und x2=-1,541 raus

aber das hier habe ich nicht verstanden:
"prüfe ihre geom. Vielfachheit. "



wozu gehört denn dann das hier, deinen letzte post verstehe ich nicht so sehr, die matrix sieht doch über so aus:




oder nicht?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Komm, das char. Poly war eine quadratische Funktion. Die Wurzel hättest du schon angeben können. Augenzwinkern


Darin steckt die Antwort, warum dein Runden schlecht war und uns somit hier nicht weiterhilft. Wie lautet die exakte Lösung über IR? Ist die dann auch in Q erhalten?
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von energyfull
das char. polynom lautet:





und die genauen werte sind.



ich bin jetzt völlig durcheinander, also wir halten fest, die Matrix ist über F2 nicht diagonalisierbar, das hatten wir vorher gesagt.

die matrix ist doch jetzt über Q diagonalisierbar oder nicht?

aber bei F7, warum ist sie da nicht diagonalisierbar?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, hat sie denn rationale Nullstellen? Also auch NICHT diagonalisierbar
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

also weil sie nicht über Q diagonalisierbar ist, ist sie auch nicht über R diagonalisierbar, was ist denn jetzt mit F7??


dann auch nicht oder weil die einträge der matrix ja gleich sind??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nein, nein. IR ist doch viel größer als Q. Speziell liegen in IR\Q die WURZELN. Deswegen diag. über R, aber nicht über Q

Wie lautet das char. Polynom in F7?

Im reellen:



In F7:



Also gibt es 2 verschiedene Nullstellen. Also auch diagonalisierbar. Prüfen wir



Nun bist du mit dem zweiten Eigenvektor zum EW 3 dran.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

wie kommst du jetzt eigentlich auf die eigenvektoren:

ich setze doch meine nullstellen in meine neue matrix ein und ersetze doch dann t einmal durch 0 und einmal durch -4 und multipliziere mit x, bis dahin ist es klar aber dannach nicht mehr so
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

naja, gauss algo zum lösen eines lgs, aber eben nur mit zahlen aus F7
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

welche matrix hast du denn benutz um auf den eigenvektor zu kommen, ich versuche es, aber ich bekomme es nicht
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Na diese:



Nun bring die mal Gauss auf Stufenform. Dann musst du z.B. rechnen II - 3I. Und du siehst, dass Übrig bleibt



Kompntente 2 des Lösungsvektors ist frei wählbar. Ich wähle also 1, dann muss für die erste Komponente gleich 4 sein.
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