[Numerik I] - Übung 12 * |
13.01.2009, 17:59 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
[Numerik I] - Übung 12 *
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13.01.2009, 19:41 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
12.1 Matrix-Exponentialfunktion Unter dem Ausdruck versteht man die Reihe Sie konvergiert für jede Matrix . Für die hier konkret angegebene Matrix ergibt sich: Für die Potenzen der Matrix A ergeben sich: Somit können wir die Potenzen von A allgemein berechnen mit: Aufgrund der Konvergenz suchen wir also eine 2x2 Matrix M mit: Wir können uns nun für jeden Matrixeintrag von M die Reihen anschauen. Es folgt (anderer Index verwenden, da Teilreihen betrachten werden, um Verwechslungen zu vermeiden). Da die Reihe absolut konvergiert, können wir beliebig umsortieren oder zusammenfassen. Mit der Kenntnis dieser Reihen können wir M angeben. |
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13.01.2009, 23:08 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
12.2 Penrose-Inverse einer i.A. nicht quadr. Matrix Um die Eindeutigkeit zu zeigen, nehmen wir an es gäbe eine zweite, von A verschiedene Matrix Z, welche die gleichen Eigenschaften besitzt. Wir kennzeichnen sie mit einem ' hinter der Nummer. Den Zusammenhang mit der Singulärwertzerlegung prüfen wir durch einfaches einsetzen und Anwenden der Rechenregeln. Dabei prüft man durch einfaches nachrechnen, dass gilt: |
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13.01.2009, 23:08 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
12.3 Singulärwertzerlegung einer Matrix bestimmen Gesucht ist eine Zerlegung der Form: Wobei U und V unitäre Matrizen unterschiedlicher Abmessung sind. Je nach Abmessung von A verwendet man oder zur theor. Bestimmung der Singulärwerte (eben die kleinere Matrix), die Spektren sind bis auf 0 gleich. Die Eigenwerte bestimmen sich hier formal einfach über das charakteristische Polynom und eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Somit ergibt sich: Die Eintrage von V sind nun die Eigenvektoren von . Es ergeben sich die LGS: Somit lautet v nach Normierung und Rundung... Die ersten beiden Spalten von U bekommt man durch Benutzen der Beziehung . Spaltenweise ergibt sich (beachte die Diagonalmatrix!): Die Vektoren sind theoretisch orthonormal und den dritten Vektor kann man mit Gram-Schmidt bestimmen. Somit lautet die Singulärwertzerlegung (gerundet) Mit Aufgabe 12.2 können wir daraus die Moore-Penrose-Inverse von A bestimmen: Wie kennen nun die Singulärwertzerlegung von A. wir suchen nun eine Matrix vom Rang 1, die zu A den kleinsten Abstand hat. Da schließt sich logischerweise sofort die Frage an: Bezüglich welcher Norm?
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13.01.2009, 23:09 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
12.4 Regularität mit Gerschgorin zeigen Anwendung des Satzes zeigt, dass man das Problem o.B.d.A auf folgenden Fall reduzieren kann (A sonst diagonaldominant, Symmetrie, Normierung) Gesucht ist nun eine geg. Transformation, so dass 0 nicht mehr auf einer Kreislinie (oder in einem Kreis) liegt. Es reicht aus, die Optimierung bzgl. D zu betrachten, da nur hier Spalten verändert werden. Als Beispiel sei n=5 aufgeführt. Es sei nun D wie folgt bestimmt: Somit ergibt sich. Analoges ergibt sich für allgemeines n, wenn man die Einträge von D analog wählt. Dabei gelte Für i=3:ceil(n/2) gelte: Dann ergibt sich für die Zeilen der Matrix B (*) Was passiert nun, wenn wir die Ähnlichkeitstransformation durchführen? Wir Multiplizieren B von links mit der Inversen von D: Somit liegt 0 nicht in der Vereinigung der Kreise und ist somit auch kein Kandidat für einen Eigenwert. etc... Also teilen wir die Zeilen von B nur durch positive Konstanten, die Positivität von (*) bleibt erhalten und damit ist der Nachweis der Regularität von A erbracht, da C und A das gleiche Spektrum besitzen. |
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22.01.2009, 01:31 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
12.5 Singulärwertzerlegung die Zweite Eine Matrix, mit der wir schöner rechnen können ist: Wieder bestimmen wir im ersten Schritt aufgrund der Abmessungen: Die Eigenwerte sind direkt ablesbar, ebenso wie die Eigenvektoren. Mit Sortierung und Normierung erhalten wir: Nun berechnen wir die ersten Spalten von U wie folgt: Für die Berechnung von u3 zeigen wir 3 verschiedene Wege
Somit lautet die Zerlegung: |
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30.01.2009, 23:56 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
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