[Numerik I] - Übung 12 *

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[Numerik I] - Übung 12 *
Übung 12

  1. Matrix-Exponentialfunktion

  2. Penrose-Inverse einer i.A. nicht quadr. Matrix

  3. Singulärwertzerlegung einer Matrix bestimmen

  4. Regularität mit Gerschgorin zeigen

  5. Singulärwertzerlegung die Zweite

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
12.1 Matrix-Exponentialfunktion
Unter dem Ausdruck versteht man die Reihe



Sie konvergiert für jede Matrix .


Für die hier konkret angegebene Matrix ergibt sich:



Für die Potenzen der Matrix A ergeben sich:



Somit können wir die Potenzen von A allgemein berechnen mit:




Aufgrund der Konvergenz suchen wir also eine 2x2 Matrix M mit:



Wir können uns nun für jeden Matrixeintrag von M die Reihen anschauen. Es folgt (anderer Index verwenden, da Teilreihen betrachten werden, um Verwechslungen zu vermeiden). Da die Reihe absolut konvergiert, können wir beliebig umsortieren oder zusammenfassen.










Mit der Kenntnis dieser Reihen können wir M angeben.

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
12.2 Penrose-Inverse einer i.A. nicht quadr. Matrix
Um die Eindeutigkeit zu zeigen, nehmen wir an es gäbe eine zweite, von A verschiedene Matrix Z, welche die gleichen Eigenschaften besitzt. Wir kennzeichnen sie mit einem ' hinter der Nummer.



Den Zusammenhang mit der Singulärwertzerlegung prüfen wir durch einfaches einsetzen und Anwenden der Rechenregeln. Dabei prüft man durch einfaches nachrechnen, dass gilt:












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12.3 Singulärwertzerlegung einer Matrix bestimmen
Gesucht ist eine Zerlegung der Form:



Wobei U und V unitäre Matrizen unterschiedlicher Abmessung sind. Je nach Abmessung von A verwendet man oder zur theor. Bestimmung der Singulärwerte (eben die kleinere Matrix), die Spektren sind bis auf 0 gleich.



Die Eigenwerte bestimmen sich hier formal einfach über das charakteristische Polynom und eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen.





Somit ergibt sich:



Die Eintrage von V sind nun die Eigenvektoren von . Es ergeben sich die LGS:







Somit lautet v nach Normierung und Rundung...



Die ersten beiden Spalten von U bekommt man durch Benutzen der Beziehung . Spaltenweise ergibt sich (beachte die Diagonalmatrix!):







Die Vektoren sind theoretisch orthonormal und den dritten Vektor kann man mit Gram-Schmidt bestimmen.



Somit lautet die Singulärwertzerlegung (gerundet)




Mit Aufgabe 12.2 können wir daraus die Moore-Penrose-Inverse von A bestimmen:




Wie kennen nun die Singulärwertzerlegung von A. wir suchen nun eine Matrix vom Rang 1, die zu A den kleinsten Abstand hat. Da schließt sich logischerweise sofort die Frage an: Bezüglich welcher Norm?

  • Frobenius-Norm

    Durch nachrechnen zeigt man die Gültigkeit von


    Dies zeigt, dass die Frobeniusnorm invariant gegenüber orthogonalen Transformationen von rechts oder links ist.



    Wir können B ohne weiteres mit U und V darstellen, wobei D dann eine passende Matrix ist, die den Rang 1 besitzt.



    Dies wird offensichtlich minimal, wenn wir D als Diagonalmatrix wählen mit und sonst nur Nullen. Somit erhalten wir



  • Wie sieht es bei anderen Normen aus?

    Die obige Idee gilt für jede Norm, die invariant bei orthogonaler Transformation ist und ferner verträglich mit der euklidischen Vektornorm. Vergleiche dazu das angehängte PDF-file.
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12.4 Regularität mit Gerschgorin zeigen
Anwendung des Satzes zeigt, dass man das Problem o.B.d.A auf folgenden Fall reduzieren kann (A sonst diagonaldominant, Symmetrie, Normierung)





Gesucht ist nun eine geg. Transformation, so dass 0 nicht mehr auf einer Kreislinie (oder in einem Kreis) liegt. Es reicht aus, die Optimierung bzgl. D zu betrachten, da nur hier Spalten verändert werden. Als Beispiel sei n=5 aufgeführt.




Es sei nun D wie folgt bestimmt:




Somit ergibt sich.














Analoges ergibt sich für allgemeines n, wenn man die Einträge von D analog wählt. Dabei gelte






Für i=3:ceil(n/2) gelte:




Dann ergibt sich für die Zeilen der Matrix B (*)













Was passiert nun, wenn wir die Ähnlichkeitstransformation durchführen? Wir Multiplizieren B von links mit der Inversen von D:


Somit liegt 0 nicht in der Vereinigung der Kreise und ist somit auch kein Kandidat für einen Eigenwert.









etc...

Also teilen wir die Zeilen von B nur durch positive Konstanten, die Positivität von (*) bleibt erhalten und damit ist der Nachweis der Regularität von A erbracht, da C und A das gleiche Spektrum besitzen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
12.5 Singulärwertzerlegung die Zweite
Eine Matrix, mit der wir schöner rechnen können ist:



Wieder bestimmen wir im ersten Schritt aufgrund der Abmessungen:



Die Eigenwerte sind direkt ablesbar, ebenso wie die Eigenvektoren. Mit Sortierung und Normierung erhalten wir:







Nun berechnen wir die ersten Spalten von U wie folgt:





Für die Berechnung von u3 zeigen wir 3 verschiedene Wege

  • Kreuzprodukt



  • Homogenes LGS





  • Gram-Schmidt

    Wir wählen uns einen l.u. Vektor und orthogonalisieren diesen.




Somit lautet die Zerlegung:

 
 
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