schnittpunkt ebene - gerade??

13.01.2009, 22:11

eey

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schnittpunkt ebene - gerade??

hallo zusammen,

hab hier eine aufgabe die ich nicht so ganz versteh, und zwar lautet die:

Welchen Schnittpunkt besitzen die von den beiden Vektoren

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\2 \\3 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 1 \\0 \\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

erzeugte Ebene

$\begin{eqnarray*} ~\mathbb Q \cdot \begin{pmatrix} 1 \\2 \\3 \end{pmatrix}+ ~\mathbb Q \cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die Gerade

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\0 \\1 \end{pmatrix}+ ~\mathbb Q \cdot \begin{pmatrix} 1 \\0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

Also das ist die Angabe, weiß leider gar nicht wie ich das lösen soll in meiner
Formelsammlung konnt ich auch nix brauchbares finden unglücklich

unglücklich

Also was soll dieses Q da?
Versteh das nicht so ganz....

hoffe jemand kann mir helfen ,

grüße,

eey

13.01.2009, 22:31

Gast20180108

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hi!

Q ist der faktor um den die richtungsvektoren verlängert oder verkäzt werden damit man auf einen punkt einer gerade oder ebene kommt! hier würde ich die ebene auf normalvektorform bringen und dann die x,y,z der gerade einsetzen daraus kannst du dier den faktor Q berechnen! nachher kannst du Q in die gerade einsetzen dann bekommst du den schnittpunkt!

lg
thomas

13.01.2009, 23:23

eey

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hm ja,
aber wie macht man das?

also nicht das ich zu faul wäre die aufgabe zu rechnen aber ich versteh die beispiele
aus der formelsammlung nicht ka wie man von den 2 vektoren auf die
ebenengleichung kommen soll unglücklich

unglücklich

wie soll ich anfangen??

14.01.2009, 17:22

Gast20180108

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du hast schon die ebenengleichung nur halt in parameterform!

aber mit einem kreuzprodukt kannst du schon was anfangen? ich würde dieses mit den vektoren (1,2,3)x(1,0,-1) bilden! dann bekommst du den normalvektor!

auf normalvektor form bringen!

hat die form:

n1*x+n2*y+n3*z=n1*a1+n2*a2+n3*a3

n1,n2,n3....sind die xyz komponenten des normalvektors

a1,a2,a3....ist ein punkt der ebne bei dir hier (0,0,0)

so wenn du die ebene so hast kannst du ganz einfach die xyz komponenten der gerade in diese ebne einsetzen und bekommst Q.

15.01.2009, 00:08

eey

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hm ich hab jetzt mal gemacht was du mir gesagt hast,
so wirklich kapiert hab ich aber einiges immer noch nicht unglücklich

unglücklich

meine Gerade:

$\begin{eqnarray*} g: \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+~\mathbb Q \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

meine Ebene:

$\begin{eqnarray*} E: \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+~\mathbb Q \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+~\mathbb Q \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also du sagts Kreuzprodukt bilden, welches da wäre:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ok soweit so gut, da kann man jetzt noch den faktor 2 rausziehen aber des
ist ja eigentlich egal...

jetzt will ich also alles so einsetzen wie von dir gesagt:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot x_{1}-4 \cdot x_{2}+2 \cdot x_{3} = o \end{eqnarray*}$

und jetzt soll ich die xyz komponente der gerade einsetzen -
aber welche, die (2,0,1) oder die (1,0,1) also den ersten oder den zweiten Vektor?

Aber sowieso egal welches ich einsetz, die gleichung führt zu nem widerspruch,
da dann bei dem ersten vektor eingesetzt dasteht

$\begin{eqnarray*} 6 = 0 \end{eqnarray*}$

und falls ich den anderen benutze (woher weiß ich welchen ich benutzen muss??)

$\begin{eqnarray*} 4 = 0 \end{eqnarray*}$

was ja bedeuten würde dass es kein Q gibt??

außerdem wollte ich ja den Schnittpunkt von E und g wissen, wofür brauch
ich da Q?

Also ich kapier gar nix mehr, kann mir hier nicht irgendwer schritt für schritt
(am besten im idiotenmodus Augenzwinkern

Augenzwinkern

) erklären was ich machen muss?

schonmal im vorraus danke,

eey

15.01.2009, 08:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von humma6
hier würde ich die ebene auf normalvektorform bringen und dann die x,y,z der gerade einsetzen daraus kannst du dier den faktor Q berechnen! nachher kannst du Q in die gerade einsetzen dann bekommst du den schnittpunkt!

Ich halte das für unnnötig kompliziert. Warum setzt man nicht einfach Gerade und Ebene gleich. Gesucht sind doch Parameter a, b und c mit:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + c \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus bekommt man ein GLS mit 3 Gleichungen.

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15.01.2009, 13:27

Gast20180108

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viele wege führen nach rom*g*

für x: 2+Q*1

für y: 0+Q*0 also 0

für z: 1+Q*1

Q verlängert ja oder verkürzt den richtungsvektor! und hier verlängert er ihn so, dass wenn du ihn in die geradengleichung einsetzt den schnittpunkt bekommst!

aber man kann es ja auch so wie von klarsoweit erklärt machen! ich mag halt immer die normalvektorform lieber!

lg

15.01.2009, 13:56

eeey

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also mit der methode von klarsoweit konnte ich jetzt meine drei unbekannten
Qs bestimmen die da wären

Q1=0
Q2=-1/2
Q3=-3/2

ok wenn ich jetzt Q2 mit dem Vektor (-1,0,1) multipliziere bekomm ich meinen Schnittpunkt S(1/2,0,-1/2)

das ist die richtige lösung , so stehts in unserer Komplettlösung...

was ich jetzt nicht kapiere:
Warum Q2 mit (-1,0,1) multiplizieren? Ist das ne regel die ich einfach auswendig lernen
muss oder wieso ist das so??

und das mit der Normalenform check ich auch immer noch nicht, gibts da nicht irgendwo ein Musterbeispiel das einem schritt für schritt sagt was man machen soll?

15.01.2009, 15:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von eeey
Warum Q2 mit (-1,0,1) multiplizieren? Ist das ne regel die ich einfach auswendig lernen
muss oder wieso ist das so??

In keinem der Beiträge davor hast du die Variablen Q1, Q2 und Q3 eingeführt. Du hättest ebenso sagen können, hugo=0, anton=-1/2 und otto=-3/2. Da wäre man genauso schlau. Vielleicht übersetzt du das in die von mir benutzten Variablen a, b und c. smile

smile

15.01.2009, 21:13

eey

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RE: schnittpunkt ebene - gerade??
naja also Q1 ist halt das Q in der Geradengleichung, Q2 das erste Q in der Ebenengleichung und Q3 das zweite Q der Ebenengleichung.....

also bei dir:

Q1 = a
Q2 = b
Q3 = c

ich dachte das wäre klar....

ok da das jetzt geklärt ist nochmal die Frage:

Warum b mit (-1,0,1) multiplizieren? Ist das ne regel die ich einfach auswendig lernen
muss oder wieso ist das so??

16.01.2009, 08:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von eeey
Q1=0
Q2=-1/2
Q3=-3/2

Dann stimmen diese Werte nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.01.2009, 11:14

eey

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doch die stimmen, steht so auch in unserer komplettlösung und du musst das
Gleichungssystem ja nur mal auflösen

hier nochmal für dich:
$\begin{eqnarray*} a \cdot \begin{pmatrix} -1 \\0 \\-1 \end{pmatrix}+b \cdot \begin{pmatrix} 1 \\2 \\3 \end{pmatrix}+c \cdot \begin{pmatrix} -1 \\0 \\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so wenn man das jetzt auflöst kommt man genau auf

a= -3/2
b= 0
c= -1/2

aber das wusste ich auch schon davor

kann mir denn hier niemand WEITERhelfen??? unglücklich

unglücklich

16.01.2009, 11:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von eey
a= -3/2
b= 0
c= -1/2

Na sowas. Eben war noch Q1 = a = 0, jetzt ist auf einmal a = -3/2. Also hatte ich doch recht. Warum widersprichst du mir? unglücklich

unglücklich

Jetzt kannst du den Wert für a in die Geradengleichung einsetzen und bekommst deinen Schnittpunkt.

16.01.2009, 12:03

eeey

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ups, dann hatte ich mich dacor verschrieben geschockt

geschockt

tut mir leid, mein fehler traurig

traurig

also, auf jeden fall sind natürlich die aktuelleren werte richtig, habs gerade eingesetzt
und stimmt alles Gott

Gott

vielen dank

S=(1/2.0,-1/2)

steht so auch in der komplettlösung

also bis hierhin ist es praktisch "klar so weit" Augenzwinkern

Augenzwinkern

jetzt aber mal ne andere frage, da gibt es doch auch noch andere wege draufzukommen, oder?
Also das was vorher angesprochen wurde mit Kreuzprodukt und so....
das hab ich immer noch nicht verstanden, was ich da mit was malnehmen muss
und warum....

16.01.2009, 12:33

mYthos

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Die Koordinatenform der Ebene enthält deren Normalvektor, d.h. man kann die Komponenten des Normalvektors direkt aus den Koeffizienten ablesen. Dazu muss das Vektorprodukt aus den beiden gegebenen Richtungsvektoren gebildet werden:
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Ebene geht durch den Nullpunkt, somit lautet deren Gleichung

$\begin{eqnarray*} n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

aber das wurde dir ja bereits weiter oben erklärt.
Kannst du nun den Normalvektor bestimmen und dann da einsetzen?

In diese Ebenengleichung kannst du dann ganz einfach statt $\begin{eqnarray*} x_1, \ x_2 \ \text{und} \ x_3 \end{eqnarray*}$ die Werte der Geraden einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \text{g .. }\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also für

$\begin{eqnarray*} x_1 = 2 + t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 = 1 + t \end{eqnarray*}$

nach t auflösen, dieses wieder bei $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ einsetzen und du hast den Schnittpunkt.

mY+

EDIT: $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ entspricht $\begin{eqnarray*} x, y , z \end{eqnarray*}$

16.01.2009, 12:56

eey

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ok danke für die schnelle antwort Freude

Freude

,
werds gleich mal ausprobieren

eey

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