Automorphismengruppe

13.01.2009, 22:31	lilithilli1210	Auf diesen Beitrag antworten »
Automorphismengruppe Hi habe folgende aufgabe: Es sei G eine Gruppe und Aut(G) die Menge aller Gruppenisomorphismen von G nach G, der sogenannten Gruppenautomorphismen. Zeigen Sie: 1) für $\begin{eqnarray} \alpha , \beta \in Aut(G) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \alpha \circ \beta \in Aut(G) \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} (Aut(G), \circ ) \end{eqnarray}$ ist eine Gruppe, sie heißt Automorphismengruppe von G. 3) Aut(Z) ist isomorph zu Z/2Z 4) Aut(Z/2Z X Z/2Z) ist isomorph zu S3. zu 1) und 2) hab ich soweit viele ideen, nur wie ich sie rechnerisch umsetze weiß ich nicht. also es ist ja klar, dass Nacheinanderausführung zweier bijektiver Abbildungen wieder bijektiv ist, somit müsste $\begin{eqnarray} \alpha \circ \beta \in Aut(G) \end{eqnarray}$ nachzuweisen sein. denn das soll ja nur heißen, dass das nacheinanderausführen zweier bijektiver abb.(isomorph) wieder bijektiv ist. Nur weiß ich nicht wie ich das genau zeigen kann, oder reicht das gut ausgeführt in worten? wohl eher nicht so weiter zu 2) da ja wie gesagt das verknüpfen wieder bijektiv ist, ist Aut(G) invertierbar (umkehrabb.) also gibt es inverse, es gibt das neutralelement nämlich die abb. idG: G->G(die Identität). außerdem müsste die abgeschlossenheit gezeigt sein dadurch, dass verknüpfungen von linearen, bijektiven abb. wieder linear und bijektiv sind. nur wieder das problem: wie schreibe ich das "formal" auf? zu 3) Aut(Z) ist ja die menge aller gruppenisomorphismen von Z nach Z. (also ganze Zahlen) Z/2Z sind die Restklassen 0,1 also der Körper F2. leider fehlt mir hier jegliche idee...# genauso bei 4)... hoffe aus hilfe LG Lili
13.01.2009, 22:47	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 3) Überlege dir dass nur id und -id Automorphismen von Z sind zu 4) Fasse Z/2Z x Z/2Z als Vektorraum auf und bestimmte die Ordnung der Gl(2,2). Schließe daraus die Isomorphie zu S3
13.01.2009, 23:04	lilithilli1210	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke. zu 3) was genau is -id? zu 4) S3 ist doch die sym. gruppe von nem dreieck {id,(123), (132), (12), (13), (23)} oder? stimmen die denkansätze zu 1 und 2? LG Lili
13.01.2009, 23:11	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abbildung die von 1 -> -1 induziert wird hab ich kurz -id genannt Ja S_3 ist so richtig. a) musst eben zeigen das die Komposition bijektiv und linear ist b) musst zeigen dass das Inverse ebenfalls linear ist.
14.01.2009, 10:58	lilithilli1210	Auf diesen Beitrag antworten »
also elemente aus Aut(Z) sind nur 2: id und -id. in F2 gibt es auch nur 2 Elemente 0,1 zu 2) die umkehrfunktion wäre ja: $\begin{eqnarray} ( g \circ f )^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} \end{eqnarray}$ für diese gilt : $\begin{eqnarray} (f^{-1} \circ g^{-1} ) \circ (g \circ f ) (x) = f^{-1} ( g^{-1} (g ( f (x) ) ) = f^{-1} ( f (x) ) = x \end{eqnarray}$ richtig so? zu 1) wie zeig ich da dass es linear und bijektiv is? bräuchte nur ne ansatz =) LG Lili

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »