Sylow

14.01.2009, 12:29	carm	Auf diesen Beitrag antworten »
Sylow Morgen Ich hätte mal eine Frage zu einer Aufgabe, die eine Mischung aus Zahlentheorie und Algebra ist: Sei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ einer Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} q^n-1 \end{eqnarray}$ mit einer Primzahl $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ . Weiter sei bekannt, dass es genau eine p-Sylowuntergruppe von G gibt. Dann folgt $\begin{eqnarray} p \nmid q^k-1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k<n \end{eqnarray}$ . Ich habe mal mit kleinen Zahlen ein paar Beispiele probiert, da stimmt es natürlich. Nur sehe ich nicht so recht, warum das allgemein gilt. Für die Anzahl $\begin{eqnarray} n_p \end{eqnarray}$ der p-Sylowgruppen gilt ja $\begin{eqnarray} n_p \equiv 1 \mod p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n_p \mid \frac{\|G\|}{p^e} \end{eqnarray}$ für den entsprechenden Exponenten e in der Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung. Daraus kann ich aber auch nichts ablesen. Hätte da jemand einen Tip für mich?
14.01.2009, 12:50	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow Irgendwas fehlt hier, denn sei $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ eine Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} \|U\|=3^3-1=2\cdot 13 \end{eqnarray}$ , so hat diese genau eine Sylow-13-Untergruppe und wenn wir $\begin{eqnarray} G=U\times C_{28} \end{eqnarray}$ setzen, so ist $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|G\|=3^6-1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} p=13 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k=3 \end{eqnarray}$ ein Gegenbeispiel.
14.01.2009, 13:02	carm	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja, sorry. Also eigentlich sollten wir es nur für n=3 zeigen. Aber sie hat auch gesagt, es gilt für alle ungeraden n. Also das ungerade hatte ich vorhin vergessen.
14.01.2009, 13:19	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine abelsche Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} 23^3-1 \end{eqnarray}$ hat genau eine 11-Sylowuntergruppe und es gilt trotzdem $\begin{eqnarray} 11\|23^1-1 \end{eqnarray}$

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