Lineares Ausgleichsproblem

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Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Ausgleichsproblem
Hallo,

ich muss das lineare Ausgleichsproblem lösen.





Brauche ich dafür die QR Zerlegung ?

Wenn ja wie gehe ich dabei genau vor, mir sind die Schritte noch nicht so ganz klar und tappe bei der Aufgabe noch ein wenig im Dunkeln verwirrt

Gruß Björn
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Ausgleichsproblem
Würde man wohl so machen. Wie möchtest du QR berechnen? GS, HH, GV?
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

HH heisst Householder oder Augenzwinkern
Das andere sagt mir jetzt nichts - ich bin jetzt erstmal weg, schaue nachher nochmal rein Wink

Björn
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

GS: Gram Schmidt, GR: Givens Rotation

(hab dir zum anderen auch was geschickt. Bin erst am Abend wieder da.)
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Also im Prinzip ist die R-Matrix dasselbe wie bei der LR Zerlegung oder ?
Und Q ist eben eine orthogonale Matrix, weshalb sich GS anbieten würde ?

Jedoch steht bei der Aufgabe nicht WAS man genau anweden soll, im Skript steht eher etwas von HH - was ist denn üblicher bzw "manuell" aufwändiger ?

GS hatten wir definiitiv nicht.
Quitte Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Ausgleichsproblem
Für mich sieht das verdächtig nach Methode der kleinsten Quadrate aus!
Bei kleinen Problemen (wie hier) rechnest du

A.trans * A * x = A.trans * b

x ist vektor mit lösungen, trans bedeutet transponiert

und du bist fertig

Also explizit:
A.trans * A = matrix([[81,-54],[-54,45]])
A.trans * b = maxtrix([[45],[-26]])

Lösung:
x1 = 23/27
x2 = 4/9
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Ausgleichsproblem
habt ihr denn in der Vorlesung zu dem Thema gemacht? Es gibt verschiedene Lösungsverfahren.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du zu dem Ansatz von Quitte ?

Wir hatten direkt am Anfang des Kapitels über lineare Ausgleichsrechnung diese Methode allgemein angesprochen und daraufhin einen Satz aufgeschrieben, der besagt:

||b-Ax||=min||b-Av|| <=> x löst

Danach folgten dann QR-Zerlegung und HH-Trafos.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Quitte sagt mir nichts. Aber es ist nicht untypisch, die Äquivalenz zu den "Normalengleichungen" zu zeigen. Diese würde man dann über die QR Zerlegung lösen. Mach das doch einfach mal. Augenzwinkern

Ergebnis scheint ja schon da zu stehen. Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber es ist nicht untypisch, die Äquivalenz zu den "Normalengleichungen" zu zeigen


Bedeutet das, dass man es so tun kann wie Quitte oder was willst du damit sagen ?
Denn sie geht ja scheinbar nach dem von mir zitierten Satz vor.


Zitat:
Diese würde man dann über die QR Zerlegung lösen


MUSS man das dann noch tun oder wäre es nur zur Übung bzw Probe damit ich mal eine solche QR Zerlegung gemacht habe ?

Wenn ja, muss ich es dann analog zu deinem Beitrag bei den HH's machen ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Egal wie, aber EINEN Weg solltest du nun hier mal rechnen, oder? Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das werde ich auch Augenzwinkern

Da ich jedoch wieder einmal auf den letzten Drücker alles mache wollte ich mir (vorerst) nicht mehr ARbeit machen als nötig, um schonmal die Basis zu haben und so eine QR Zerlegung sieht mir schon nach ARbeit aus - insbesondere wenn man sie (wie ich) noch nicht so durchschaut hat.

Du hast es zwar noch nicht bejaht aber ich werde dann erstmal diese Normalengleichung zeigen bzw das LGS lösen in der Hoffnung dass das reicht und wenn noch Zeit ist das ganze mit QR Zerlegung zeigen.

Gruß Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Lol, ich habe doch schon bejaht, dass Normalengleichungen ein äquivalentes Problem darstellen. Augenzwinkern Aber auch das System muss gelöst werden.
Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok nur im Prinzip hat Quitte das ja schon gelöst wie ich gerade sehe.
Zu lösen ist dann eben



Und ich erhalte damit genau die von Quitte geposteten Lösungen.

Damit ist die Sache also schon erledigt ja ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Dank dir Augenzwinkern

Ich werde den anderen Ansatz (nach mehr Verständnis der QR Zerlegung) noch posten bzw auch den Weg, der dann morgen vorgerechnet wird Wink

Edit:

Kurze Rückmeldung:

Es wurde gerade in der Vorlesung genauso vorgerechnet wie von Quitte beschrieben.
QR Zerlegung war auf diesem Übungsblatt noch überhaupt nicht das Thema, das kommt jetzt erst bei dem nächsten.

Vielen Dank für die Hilfe smile
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