HILFE! komme absolut nich weiter bei ableitung

05.09.2006, 13:55

andrealein

HILFE! komme absolut nich weiter bei ableitung

hey ihr....

ich komme bei folgender aufgabe nicht weiter, kann noch nicht mal einen ansatz fnden:

man soll a so bestimmen, dass gilt: (a^x)' = 2 * a^x

wäre wenigstens um einen kleinen ansatz dankbar

05.09.2006, 13:59

derkoch

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wenn du die ableitung von $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ kennst , ist das ein 2 zeiler!

05.09.2006, 14:03

system-agent

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denk vielleicht erst mal daran, dass
$\begin{eqnarray*} [\exp(x)]'=\exp(x) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} x=\exp(\ln(x)) \end{eqnarray*}$

05.09.2006, 14:08

andrealein

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@system-agent:
$\begin{eqnarray*} [\exp(x)]'=\exp(x) \end{eqnarray*}$ ist doch die e-funktion oder? das mit den logarithmen hab ich noch nicht so ganz verstanden....auch schon bei der e-funktion

@derkoch: meinst du mit 2 zeiler a^(2+x)?

05.09.2006, 14:10

derkoch

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was ist denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ ??

$\begin{eqnarray*} f(x) = a^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = ???? \end{eqnarray*}$

05.09.2006, 14:14

andrealein

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das wäre doch x * a^(x-1)

05.09.2006, 14:16

derkoch

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Zitat:

Original von andrealein
das wäre doch x * a^(x-1)

nein!

das was du hingeschrieben hast $\begin{eqnarray*} f'(x) = n \cdot x^{n-1} \end{eqnarray*}$ gilt nur für funktionen solchen typs:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^n \end{eqnarray*}$

05.09.2006, 14:17

JochenX

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Zitat:

Original von andrealein
das wäre doch x * a^(x-1)

nö, dieses "Exponent vorziehen, danach eins kleiner machen" gilt nur, wenn x in der Basis steht und der Exponent konstant ist.
Hier also offensichtlich nicht.

Die Ableitung von a^x geht über Kettenregel nach umschreiben in eine e-Funktion mit dem Hinweis, den system-agent oben gegeben hat.

Schreibe also erst $\begin{eqnarray*} a^x=e^{?} \end{eqnarray*}$ und leite danach ab.

05.09.2006, 14:30

andrealein

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achso, dann habe ich das wohl verwechselt...

dann gilt doch:

f'(x) = $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to o} x \end{eqnarray*}$ a^(x+h) - a^x / h

=

a^x * $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to o} x \end{eqnarray*}$ a^h - 1 / h

und da die funktion durch 2 differenziert ist, gilt doch dann:

2 = $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to o} x \end{eqnarray*}$ a^h - 1 / h

05.09.2006, 14:40

JochenX

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Das ist ziemlich unlesbar, schreibe doch den ganzen Term in Latex.
Was das x hinter dem "lim" soll, weiß ich auch nicht.

Also bitte nochmal sortierter und alles getext, so dass man es lesen kann.

05.09.2006, 14:42

andrealein

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sorry, bin mit dem latex nicht so vertraut....weiß nicht genau wie ich das schreiben soll......das x hinter lim kommt weg, hat sich dahin geschlichen

05.09.2006, 14:50

klarsoweit

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Das mit dem Differenzenquotienten kannst du dir sparen. Nutze die e-Funktion:
$\begin{eqnarray*} a = e^{ln(a)} \end{eqnarray*}$

Was ist dann $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ ?

Frage am Rande: in welchem Zusammenhang (math. Thema) wurde die Aufgabe gestellt?

05.09.2006, 14:52

andrealein

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machen das im zusammenhang mit exponentialfunktion und jetzt langsam integralrechnung

daher istmir auch nicht ganz klar, wieso gilt:

$\begin{eqnarray*} a = e^{ln(a)} \end{eqnarray*}$

05.09.2006, 14:55

klarsoweit

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Weil die e-Funktion die Umkehrung des ln ist. Siehe die Definition des Logarithmus. Allgemein gilt:

$\begin{eqnarray*} a = b^{log_b(a)} \end{eqnarray*}$

05.09.2006, 15:00

andrealein

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achso....

dann wäre doch $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^{xln(a)} \end{eqnarray*}$

05.09.2006, 15:01

klarsoweit

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Genau!

Und das kannst du jetzt ableiten.

05.09.2006, 15:26

andrealein

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dann müsste ich ja zuerst die äußere ableitung der kettenregel machen:

$\begin{eqnarray*} (e^{xln(a)})' \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1*ln(a)+x*\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ln(a)+\frac{x}{a} \end{eqnarray*}$

05.09.2006, 15:28

andrealein

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ups merke grade das anstelle von
$\begin{eqnarray*} (e^{xln(a)})' \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} (xln(a))' \end{eqnarray*}$ stehen muss

05.09.2006, 15:29

klarsoweit

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Na das geht jetzt aber gründlich durcheinander. Was ist äußere bzw. innere Funktion und was sind deren Ableitungen?

Zitat:

Original von andrealein
ups merke grade das anstelle von
$\begin{eqnarray*} (e^{xln(a)})' \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} (xln(a))' \end{eqnarray*}$ stehen muss

Nöö. Exakt von $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{xln(a)} \end{eqnarray*}$ brauchen wir die Ableitung.

05.09.2006, 15:33

andrealein

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dann wäre nämlich

$\begin{eqnarray*} (e^{xln(a)})' \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} e^{xln(a)} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} (ln(a)+\frac{x}{a}) \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} e^{xln(a)} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} ln(a) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} e^{xln(a)} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{x}{a} \end{eqnarray*}$

05.09.2006, 15:36

klarsoweit

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Die innere Ableitung ist falsch. Was ist die Ableitung von:
$\begin{eqnarray*} g(x) = x \cdot ln(a) \end{eqnarray*}$ ?

05.09.2006, 15:41

andrealein

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achso....x fällt weg oder? dann nur $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

oder bin ich jetzt ganz durcheinander?

05.09.2006, 15:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von andrealein
achso....x fällt weg oder?

Ja.

Zitat:

Original von andrealein
dann nur $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

Nein.

Zitat:

Original von andrealein
oder bin ich jetzt ganz durcheinander?

Offensichtlich.
Was ist die Ableitung von g(x) = 2*x ?

05.09.2006, 15:49

andrealein

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2x = 2* $\begin{eqnarray*} x^1 \end{eqnarray*}$ = 2*1* $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ = 2*1*1 = 2

05.09.2006, 15:56

klarsoweit

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Formal graust es mich mich, weil am Ende 2x=2 dasteht.

Jetzt lautet die Funktion: g(x) = b*x
Was ist da die Ableitung? g'(x) = ...

05.09.2006, 16:00

andrealein

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g'(x) = b* $\begin{eqnarray*} x^1 \end{eqnarray*}$ = b*1* $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ = b*1*1 = b

05.09.2006, 16:02

klarsoweit

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Sehr schön. Und jetzt ist b=ln(a). Also ist die Ableitung von g(x) = x*ln(a) ?

EDIT: Aber formal immer noch ein Graus. Schau doch mal hin. Du schreibst als erstes $\begin{eqnarray*} g'(x) = b*x^1 \end{eqnarray*}$ . Und das ist es nun wirklich nicht.

05.09.2006, 16:04

andrealein

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g'(x) = ln(a) * $\begin{eqnarray*} x^1 \end{eqnarray*}$ = ln(a)*1* $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ = ln(a)*1*1 = ln(a) smile

05.09.2006, 16:07

klarsoweit

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Bitte, bitte, bitte! (Hände ringend) Schreibe so:
$\begin{eqnarray*} g(x) = ln(a) * x^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x) = ln(a) * 1 * x^0 = ln(a) \end{eqnarray*}$

05.09.2006, 16:13

andrealein

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entschuldigung

$\begin{eqnarray*} g(x) = ln(a) * x^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x) = ln(a) * 1 * x^0 = ln(a) \end{eqnarray*}$

wäre dann die ableitung:

f(x) = $\begin{eqnarray*} e^{xln(a)} \end{eqnarray*}$

f'(x) = v ° u = u'(v(x)) * v'(x)

v(x) = e
v'(x) = e

u(v) = $\begin{eqnarray*} v^{xln(a)} \end{eqnarray*}$
u'(x) = xln(a) * v^{ln(a)}

f'(x) = xln(a) * e^{ln(a)} * e
= e*xln(a)*a ???

habe bestimmt wieder irgendwo ein denkfehler drin unglücklich

05.09.2006, 16:15

andrealein

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Zitat:

u(v) = $\begin{eqnarray*} v^{xln(a)} \end{eqnarray*}$
u'(x) = xln(a) * v^{ln(a)}

f'(x) = xln(a) * e^{ln(a)} * e
= e*xln(a)*a ???

sorry habe hier vergessen in latex zu schreiben:
u(v) = $\begin{eqnarray*} v^{xln(a)} \end{eqnarray*}$
u'(x) = xln(a) * $\begin{eqnarray*} v^{ln(a)} \end{eqnarray*}$

f'(x) = xln(a) * $\begin{eqnarray*} e^{ln(a)} * e \end{eqnarray*}$
= e*xln(a)*a

05.09.2006, 16:16

Lazarus

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v ist nicht e sondern e^(xln(a))

Das schreibst du einfach ab und ziehst den exponenten runter und leites ab!

also $\begin{eqnarray*} g'(x)=e^{xln(x)} \cdot \left(xln(x)\right)' \end{eqnarray*}$

05.09.2006, 16:17

xrt-Physik

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In der Physik ist die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} (v^{x})' = ln(v) v^{x} \end{eqnarray*}$

05.09.2006, 16:24

andrealein

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ok, also

f'(x) =
$\begin{eqnarray*} e^{xln(a)} \cdot \left(xln(a)\right)' \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} e^{xln(a)} \end{eqnarray*}$ * ln(a)

05.09.2006, 16:29

andrealein

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da $\begin{eqnarray*} e^{xln(a)} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ ist

muss ich doch nun nur noch eine zahl a finden, die bei ln(a) 2 ergibt, um auf 2* $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ zu kommen

05.09.2006, 16:32

Lazarus

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Zitat:

Original von andrealein
ok, also

f'(x) =
$\begin{eqnarray*} e^{xln(a)} \cdot \left(xln(a)\right)' \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} e^{xln(a)} \end{eqnarray*}$ * ln(a)

Wenn das letzt ln(a) NICHT im exponenten steht, dann stimmts.

05.09.2006, 16:35

andrealein

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nein, es soll ein Mal sein....

05.09.2006, 16:37

andrealein

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a = 100

05.09.2006, 16:40

derkoch

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Zitat:

Original von andrealein
a = 100

was ist denn das?

wo kommt die 100 auf einmal her?

05.09.2006, 16:45

andrealein

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ich habe ln(a) = 2 gerechnet.

weil
f'(x) =
$\begin{eqnarray*} e^{xln(a)} \cdot \left(xln(a)\right)' \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} e^{xln(a)} \end{eqnarray*}$ * ln(a)

dann ist f'(x) =
$\begin{eqnarray*} e^{xln(a)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ * ln(a)

die frage war ja a so zu bestimmen das gilt:

( $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ )' = 2 * $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$

also müsste doch ln(a) = 2 sein

und ln(100) = 2 oder nicht?

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