Unterraum (normierter Raum)

14.01.2009, 19:04

imag

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Unterraum (normierter Raum)

Hallo
Die Aufgabe, die ich beantworten will lautet:
Es sei (E,| $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ |) ein normierter Raum, und es sei M $\begin{eqnarray*} \neq\emptyset \end{eqnarray*}$ eine Menge. Zeige, dass B(M,E):={f:M->E: f beschränkt) ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} E^M \end{eqnarray*}$ ist, und dass durch
$\begin{eqnarray*} \| f \|_\infty:=sup{|f(t)|_E :t \in M} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f\in B(M, E)) \end{eqnarray*}$
eine Norm auf B(M, E) gegeben ist.
Ich muss hier doch die Unterraumaxiome beweisen.
Diese sind
1. f+g(x)=f(x)+f(g)
2. für alle $\begin{eqnarray*} \lambda f \in \end{eqnarray*}$ Unterraum
3. 0 ist Element des Unterraumes
Mein Problem ist nun diese bei dieser Funktion nachzuweisen und zu zeigen, dass die Norm gegeben ist.
Kann mir da vielleicht jemand helfen?

14.01.2009, 20:18

system-agent

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Zu 1)
Du musst eher zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} f,g\in B(E,M) \end{eqnarray*}$ , dann auch $\begin{eqnarray*} f+g \end{eqnarray*}$ . Dazu zeige, dass $\begin{eqnarray*} f+g \end{eqnarray*}$ ebenfalls beschränkt ist.
Du musst dafür die Definition der Addition zweier Funktionen benutzen, welche du schon hingeschrieben hast.

Zu 2)
Ganz ähnlich. Ist $\begin{eqnarray*} f\in B(E,M) \end{eqnarray*}$ , wieso ist dann auch $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot f\in B(E,M) \end{eqnarray*}$ ? Zeige dazu, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot f \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, wobei natürlich immer $\begin{eqnarray*} \lambda\in K \end{eqnarray*}$ , also dem Grundkörper von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ liegt.

Zu 3)
Wieso ist die Nullfunktion beschränkt?

14.01.2009, 20:52

imag

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zu 1) also ich meine Funktion gibt doch vor dass f beschränkt ist. d.h. es existiert ein sup und inf von f oder? aber wie zeige ich jetzt dass auch ein sup und inf von g existiert?

15.01.2009, 15:27

imag

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muss mich verbessern. es f+g wären beschränkt wenn eine obere und eine untere schranke existiert. ich habe jedoch keine ahung wie ich dies bei dieser aufgabe zeigen soll. kann mir da jemand einen tipp geben?

15.01.2009, 17:50

system-agent

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Ich denke mal, dass ihr beschränkheit so definiert habt:
$\begin{eqnarray*} f:M\to E \end{eqnarray*}$ heisst beschränkt, falls es eine Konstante $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R_{\geq0} \end{eqnarray*}$ gibt so, dass $\begin{eqnarray*} |f(m)|_E\leq c \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ .

Nun zu 1)
Du weisst schon, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ beschränkt sind. Also gibt es Konstanten $\begin{eqnarray*} c_1,c_2\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ so, dass
$\begin{eqnarray*} |f(m)|_E\leq c_1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} |g(m)|_E\leq c_2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ .

Man definiert die Summe von zwei Funktionen einfach Punktweise, das heisst
$\begin{eqnarray*} (f+g)(m):=f(m)+g(m) \end{eqnarray*}$

Nun zeige, dass auch $\begin{eqnarray*} f+g \end{eqnarray*}$ beschränkt ist:
Sei $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann ist
$\begin{eqnarray*} |(f+g)(m)|_E=|f(m)+g(m)|_E\leq... \end{eqnarray*}$

15.01.2009, 23:21

imag

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$\begin{eqnarray*} |(f+g)(m)|_E=|f(m)+g(m)|_E \leq |f(m)|_E+|g(m)|_E \leq c_1+c_2 \end{eqnarray*}$
darf ich das so schreiben? das erste kleiner gleich kommt durch die dreiecksungleichung zustande oder?

zum 2)
da muss ich ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} | \lambda f(m)|_E \leq c \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m \in M \end{eqnarray*}$ oder?
aber ich habe das so probiert:
$\begin{eqnarray*} \lambda |f(m)|_E = |\lambda f(m)|_E \leq \lambda c \end{eqnarray*}$ , das passt aber irgendwie nicht so ganz oder?

zu 3)
??

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16.01.2009, 00:32

system-agent

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Du solltest erst noch überprüfen, ob ihr in der Vorlesung die Beschränktheit genauso definiert habt wie ich es hier vorgeschlagen habe. Falls nicht kannst du meine Argumentation in der Form natürlich nicht nutzen.

Zitat:

Original von imag
$\begin{eqnarray*} |(f+g)(m)|_E=|f(m)+g(m)|_E \leq |f(m)|_E+|g(m)|_E \leq c_1+c_2 \end{eqnarray*}$
darf ich das so schreiben? das erste kleiner gleich kommt durch die dreiecksungleichung zustande oder?

Ja, das ist perfekt.

Zitat:

Original von imag
zum 2)
da muss ich ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} | \lambda f(m)|_E \leq c \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m \in M \end{eqnarray*}$ oder?

Ja.

Zitat:

Original von imag
$\begin{eqnarray*} \lambda |f(m)|_E = |\lambda f(m)|_E \leq \lambda c \end{eqnarray*}$ , das passt aber irgendwie nicht so ganz oder?

Doch, das ist gut. Noch ein Zwischenschritt [und eine formale Korrektur]:
Sei $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gilt
$\begin{eqnarray*} |(\lambda\cdot f)(m)|_E=|\lambda\cdot f(m)|_E=|\lambda|\cdot|f(m)|_E\leq|\lambda|\cdot c \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von imag
zu 3)
??

Du hast die Nullfunktion $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , die ist definiert als
$\begin{eqnarray*} N:M\to E \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\mapsto0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} N(m)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ .
Nun klarer?

16.01.2009, 09:47

imag

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RE: Unterraum (normierter Raum)
Ich habe nochmal genau nachgeschaut. Wir haben beschränkt so definiert:
Es sei $\begin{eqnarray*} (V, \| \cdot \|) \end{eqnarray*}$ ein normierter Raum. W c V heißt beschränkt, falls ein c>0 existiert mit $\begin{eqnarray*} \|x\| \leq c (x \in W) \end{eqnarray*}$
das müsste ja passen.

mit der Nullfunktion das ist mir noch nicht ganz so einleuchtend. wäre dies schon mein beweis dazu?

Du hast die Nullfunktion $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , die ist definiert als
$\begin{eqnarray*} N:M\to E \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\mapsto0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} N(m)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ .
Nun klarer?[/quote]

Ich habe doch einen 2. Teil der Aufgabe:
Zeige, dass durch
$\begin{eqnarray*} \| f \|_\infty:=sup{|f(t)|_E :t \in M} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f\in B(M, E)) \end{eqnarray*}$
eine Norm auf B(M, E) gegeben ist.
wie mache ich das denn jetzt noch?

16.01.2009, 10:32

system-agent

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Also du musst beweise, dass die Nullfunktion auch im Raum $\begin{eqnarray*} B(M,E) \end{eqnarray*}$ liegt. Dazu hast du zu zeigen, dass die Nullfunktion beschränkt ist, oder in Prosa: Die Bildvektoren können nicht beliebig lang werden.
Die Nullfunktion ist aber gerade dadurch ausgezeichnet, dass sie alles auf den Nullvektor $\begin{eqnarray*} 0\in E \end{eqnarray*}$ schickt und dieser hat nach Definition einer Norm welche Länge? Was könnte man also eine passende Schranke nehmen?

Zum zweiten Teil:
Du musst hier noch drei Axiome nachweisen, nämlich die Normaxiome. Diese sind [nach Wikipedia; falls ihr es etwas anders definiert habt, dann musst du selbstverständlich eure Definition nehmen]:
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|:E\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ heisst Norm, falls:
(i) $\begin{eqnarray*} \|x\|=0\Leftrightarrow x=0 \end{eqnarray*}$
[Hier hast du also zwei Richtungen zu zeigen; der Nullvektor in $\begin{eqnarray*} B(M,E) \end{eqnarray*}$ ist die Nullfunktion]
(ii) $\begin{eqnarray*} \|\alpha\cdot f\|=|\alpha|\cdot\|f\| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} f\in B(M,E) \end{eqnarray*}$
(iii) Dreiecksungleichung: $\begin{eqnarray*} \|f+g\|\leq\|f\|+\|g\| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} f,g\in B(M;E) \end{eqnarray*}$

16.01.2009, 11:16

imag

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der nullvektor hat doch die länge null.also ist er doch auf 0 beschränkt oder?
aber wie drücke ich das richtig formuliert aus?

zum 2. tei:
für ii) muss ich doch zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \alpha\cdot sup(f)=\alpha \cdot\ sup(f) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} f\in B(M,E) \end{eqnarray*}$
für
(iii) Dreiecksungleichung: $\begin{eqnarray*} sup(f+g) \leq sup(f) + sup(g) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} f,g\in B(M;E) \end{eqnarray*}$ ist oder?
bei i) weiß ich noch nciht so richtig wie ich das machen kann.

16.01.2009, 11:27

system-agent

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Zitat:

Original von imag
der nullvektor hat doch die länge null.also ist er doch auf 0 beschränkt oder?
aber wie drücke ich das richtig formuliert aus?

Zum Beispiel so:
Für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} N(m)=0\in E \end{eqnarray*}$ und nach Definition der Norm folgt $\begin{eqnarray*} \|N(m)\|_E=\|0\|_E=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ . Manche Leute haben gern, die Schranke durch eine wirklich positive Zahl anzugeben und für diese könnte man noch schreiben:
...und nach Definition der Norm folgt $\begin{eqnarray*} \|N(m)\|_E=\|0\|_E=0\leq1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ , also beschränkt.

Zu (i):
Nehmen wir mal zuerst die " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ "-Richtung:
Du musst also zeigen: $\begin{eqnarray*} x=0\Rightarrow \|x\|=0 \end{eqnarray*}$ :
Du nimmst den Nullvektor deines Vektorraumes und der ist die Funktion $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ . Dann rechnest du die Norm nach:
$\begin{eqnarray*} \|N\|_{\infty}=\sup\{|N(m)|_E\quad:\quad m\in M\}=... \end{eqnarray*}$
[überlege, was ist $\begin{eqnarray*} |N(m)|_E \end{eqnarray*}$ ? Das hattest du zuvor nämlich schonmal beantwortet Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Wie sieht dann die Menge aus? Was ist das Supremum?

Nun die Rückrichtung, also $\begin{eqnarray*} \|x\|=0\Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ :
Sei $\begin{eqnarray*} f\in B(M,E) \end{eqnarray*}$ beliebig mit $\begin{eqnarray*} \|f\|_{\infty}=0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} 0=\|f\|_{\infty}=\sup\{|f(m)|_E\quad:\quad m\in M\} \end{eqnarray*}$
[in Prosa: Das Supremum, also der "grösste" Wert den die Funktion Normmässig annehmen kann ist Null....]

Zu (ii):
Du musst ein bischen auf die Schreibung aufpassen, aber im Prinzip hast du recht.
Sei $\begin{eqnarray*} f\in B(M,E) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} \|\alpha\cdot f\|_{\infty}=\sup\{|\alpha\cdot f(m)|_E\quad:\quad m\in M\}=... \end{eqnarray*}$
[Nutze die Eigenschaften der Norm $\begin{eqnarray*} |\cdot|_E \end{eqnarray*}$ aus....]

Zu (iii):
Ähnlich wie bei (ii); achte auf die Schreibung...

16.01.2009, 12:18

imag

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Zu (i):
" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ "-Richtung:
zu zeigen: $\begin{eqnarray*} x=0\Rightarrow \|x\|=0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \|N\|_{\infty}=\sup\{|N(m)|_E\quad:\quad m\in M\}=sup{0}=0 \end{eqnarray*}$

Zu (ii):
Sei $\begin{eqnarray*} f\in B(M,E) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} \|\alpha\cdot f\|_{\infty}=\sup\{|\alpha\cdot f(m)|_E\quad:\quad m\in M\}= sup {|\alpha||f(m)|_E:m \in M} \end{eqnarray*}$

Zu (iii):
Sei $\begin{eqnarray*} f, g \in B(M,E) \end{eqnarray*}$ Dann ist
$\begin{eqnarray*} \|f+g\|_{\infty}=\sup\{|f(m)+g(m)|_E\quad:\quad m\in M\} \leq sup {|f(m)|_E+|g(m)|_E:m \in M} \end{eqnarray*}$
reicht das so?
(uf der rechten seite fehlen klammern)

16.01.2009, 12:33

system-agent

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Du hört immer ein bischen zu früh auf Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zu (i):
Deine angegebene Richtung ist perfekt. Nun noch die Rückrichtung.

Zu (ii):
Alles richtig, nur einen Schritt musst du noch hinschreiben:
$\begin{eqnarray*} ...=\sup\{|\alpha|\cdot|f(m)|_E\quad:\quad m\in M\}=|\alpha|\cdot\sup\{|f(m)|_E\quad:\quad m\in M\}=? \end{eqnarray*}$
Bitte "?" ausfüllen.

Zu (iii):
Auch hier: Du musst noch den letzten Schritt machen, denn es soll ja am Schluss nur noch $\begin{eqnarray*} \leq\|f\|_{\infty}+\|g\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ dastehen. Das heisst "teile" das Supremum in zwei Suprema auf.

Zu LaTeX:

code:
1:	\{\|f(m)\|_E\quad:\quad m\in M\}

ergibt
$\begin{eqnarray*} \{|f(m)|_E\quad:\quad m\in M\} \end{eqnarray*}$

code:
1:	\sup

ergibt
$\begin{eqnarray*} \sup \end{eqnarray*}$

16.01.2009, 12:58

imag

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Zu (i):
Nun die Rückrichtung, also $\begin{eqnarray*} \|x\|=0\Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ :
Sei $\begin{eqnarray*} f\in B(M,E) \end{eqnarray*}$ beliebig mit $\begin{eqnarray*} \|f\|_{\infty}=0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} 0=\|f\|_{\infty}=\sup\{|f(m)|_E\quad:\quad m\in M\} => m=0 \end{eqnarray*}$

Zu (ii):
Alles richtig, nur einen Schritt musst du noch hinschreiben:
$\begin{eqnarray*} ...=\sup\{|\alpha|\cdot|f(m)|_E\quad:\quad m\in M\}=|\alpha|\cdot\sup\{|f(m)|_E\quad:\quad m\in M\}=|\alpha|\cdot ||f|| \end{eqnarray*}$

Zu (iii):
$\begin{eqnarray*} ...=\sup\{|f(m)|_E\quad:\quad m\in M\}+ \sup \{|g(m)|_E\quad:\quad m\in M\}= \|f\|_{\infty}+\|g\|_{\infty} \end{eqnarray*}$

16.01.2009, 13:05

system-agent

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Zitat:

Original von imag
Zu (i):
Nun die Rückrichtung, also $\begin{eqnarray*} \|x\|=0\Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ :
Sei $\begin{eqnarray*} f\in B(M,E) \end{eqnarray*}$ beliebig mit $\begin{eqnarray*} \|f\|_{\infty}=0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} 0=\|f\|_{\infty}=\sup\{|f(m)|_E\quad:\quad m\in M\} => m=0 \end{eqnarray*}$

Das ist blödsinn. Du sollst doch garnicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ war [schon weil es im Allgemeinen auch nicht so ist]. Du sollst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f=N \end{eqnarray*}$ .

Denk dran: Die Vektoren deines Vektorraums sind Funktionen !

(ii) und (iii) sind OK. Eventuell solltest du noch begründen, dass man das $\begin{eqnarray*} |\lambda| \end{eqnarray*}$ einfach so aus dem Supremum herausnehmen darf und wieso man das Supremum bei der Summe eben genauso aufteilen darf. Vielleicht hattet ihr ja so etwas ähnliches schonmal in den Übungen oder sogar der Vorlesung.

16.01.2009, 13:22

imag

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i)
$\begin{eqnarray*} 0=\|f\|_{\infty}=\sup\{|f(m)|_E\quad:\quad m\in M\}=\sup\{|N|_E\quad:\quad m\in M\}= \sup {0}= 0 \end{eqnarray*}$

(ii) und (iii) sind OK. Eventuell solltest du noch begründen, dass man das $\begin{eqnarray*} |\lambda| \end{eqnarray*}$ Das haben wir in der letzten Übung bewiesen. Daurauf kann ich verweisen.

16.01.2009, 13:31

system-agent

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Zitat:

Original von imag
$\begin{eqnarray*} 0=\|f\|_{\infty}=\sup\{|f(m)|_E\quad:\quad m\in M\}=\sup\{|N|_E\quad:\quad m\in M\}= \sup {0}= 0 \end{eqnarray*}$

Was machst du denn da? Du sollst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f=N \end{eqnarray*}$ ist.
Du nimmst einen beliebigen Vektor, also bei dir eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:M\to E \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} \|f\|_{\infty}=0 \end{eqnarray*}$ und du sollst beweisen, dass dann schon $\begin{eqnarray*} f=N \end{eqnarray*}$ war.
Also:
$\begin{eqnarray*} 0=\|f\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung. Nach Definition von $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ gilt also weiter:
$\begin{eqnarray*} 0=\|f\|_{\infty}=\sup\{|f(m)|_E\quad:\quad m\in M\} \end{eqnarray*}$
und das bedeutet genau, dass das Supremum aller Längen aller Bilder unter der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau Null ist !
Da aber das Supremum die kleinste obere Schranke deiner Menge ist, muss auch
$\begin{eqnarray*} |f(m)|_E\leq0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ gelten.
Da aber $\begin{eqnarray*} |\cdot|_E \end{eqnarray*}$ eine Norm ist und also als solche immer $\begin{eqnarray*} \geq0 \end{eqnarray*}$ ist, hat man
$\begin{eqnarray*} 0\leq|f(m)|_E\leq0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ und es folgt $\begin{eqnarray*} |f(m)|_E=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ .
Da es aber eine Norm ist, muss schon $\begin{eqnarray*} f(m)=0 \end{eqnarray*}$ sein, für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ und deshalb stimmt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit der Nullfunktion überein, das heisst $\begin{eqnarray*} f=N \end{eqnarray*}$ .

Ist es dir jetzt klarer?

16.01.2009, 13:36

imag

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vielen viele dank. Ich glaub jetzt habe ich es verstanden! Das war wirklich eine gute Erklärung!

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