Potenzen der JNF

14.01.2009, 21:25	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzen der JNF Sei B eine Matrix mit Eigenwerten betragsmäig kleiner 1. Wir können die JNF als Summe einer Diagonalmatrix und einer Matrix der Nebendiagonale (nilpotent!) notieren. Dann gilt mit dem binomischen Lehrsatz: $\begin{eqnarray} (D+N)^k = D^k + \sum_{i=1}^k \binom{k}{i} D^iN^{k-i} + N^k \end{eqnarray}$ Warum gilt nun: $\begin{eqnarray} \lim B^k \to 0 \end{eqnarray}$ D und N gehen sicherlich gegen die Nullmatrix. Warum macht mir aber in der Summe der Binomialkoeffizient nicht alles zu nichte? Gruß
14.01.2009, 22:19	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
(hat sich erledigt)
16.01.2009, 16:20	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die Frage noch offen?
16.01.2009, 16:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
JA
16.01.2009, 16:51	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der JNF Es sei $\begin{eqnarray} N^{k_0}=0 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} (D+N)^k = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} D^{k-i}N^{i} = \sum_{i=0}^{k_0} \binom{k}{i} D^{k-i}N^{i} \end{eqnarray}$ Das ist eine endliche Summe und Du musst nur noch die einzelnen Summanden betrachten.
16.01.2009, 16:59	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der JNF Ok, du hast den nilpotenten Teil der Summe wegfallen lassen. Die Summenlänge hängt nun nicht mehr von k ab, richtig? $\begin{eqnarray} \lim_{k\to \infty}~\sum_{i=0}^{k_0} \binom{k}{i} D^{k-i}N^{i} = ? \end{eqnarray}$ Aber immer steht das k noch im Binomialkoeffizienten. Ab einem k sollte dann der Größte unter den Koeffizienten der hier sein: $\begin{eqnarray} \binom{k}{k_0} \end{eqnarray}$ Wie soll ich das denn unabhängig von k abschötzen.... Werden die nicht beliebig groß...
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16.01.2009, 17:22	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der JNF Du hast ja noch die Diagonalmatrix D, deren Einträge betragsmäßig kleiner als ein $\begin{eqnarray} \lambda<1 \end{eqnarray}$ sind. Damit kannst Du auch noch etwas abschätzen.
16.01.2009, 17:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der JNF Wenn man nun den Binomialkoeffizientn in D hinein zieht, dann würde dort stehen $\begin{eqnarray} \frac{k!}{(k-i)!i!} \cdot \lambda^{k-1} \end{eqnarray}$ Aber ich sehe es immer noch nicht, warum das gegen 0 gehen sollte...
16.01.2009, 18:44	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der JNF Es ist $\begin{eqnarray} \binom{k}{i}=\frac{k\cdot (k-1)\cdot\ldots\cdot (k-i+1)}{i\cdot (i-1)\cdot\ldots\cdot 1}<k^{i} \end{eqnarray}$ Zeige nun, dass $\begin{eqnarray} k^i\cdot \lambda^k \end{eqnarray}$ eine Nullfolge ist. Dazu kann man auch die Funktion $\begin{eqnarray} x^i\cdot \lambda^x \end{eqnarray}$ betrachten
16.01.2009, 19:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzen der JNF Weil Exponentialfunktionen (hier) schneller fallen als Potenzfunktionen wachsen?
16.01.2009, 19:36	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Genauer weil die dazugehörige Potenzreihe nach dem Quotientenkriterium konvergiert, also die Summanden gegen 0 gehen
16.01.2009, 19:54	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke an alle. Nun kann ich $\begin{eqnarray} \lim B^k \to 0 \end{eqnarray}$ nachvollziehen.

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