Wie konvergieren Potenzreihen?

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Wie konvergieren Potenzreihen?
Herrjee was ist mein Analysiswissen eingestaubt....Ups

Ein Blick in die Defintion sagt mir, dass eine Reihe absolut konvergiert, wenn die Reihe
konvergiert.

Nun interessiert mich das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe auf ihrem Konvergenzgebiet:



Konvergiert sie dort dann auch immer absolut? Das steht leider nicht in dem mir vorliegen Skript.

edit:

laut wiki ja, steht aber kein Beweis dort... Kennt den jemand und könnte ihn einstellen?

Ferner, wie übertragen sich die Eigenschaften beim Addieren / Multiplizieren (Cauchy) auf die neue Reihe?

Danke.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie konvergieren Potenzreihen?
Den Konvergenzradius errechnet man ja z.B. mit Hilfe der Formel von Cauchy-Hadamard. Diese wird, je nach dem, mit Hilfe des Wurzel- oder Quotientenkriteriums bewiesen. Und eben diese Kriterien liefern sofort die absolute Konvergenz.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie konvergieren Potenzreihen?
Danke. Konvergieren dann Summe und Cauchyprodukt von 2 Potenzreihen auch absolut?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie konvergieren Potenzreihen?
Hier gelten die Resultate für ("gewöhnliche") Reihen uneingeschränkt. Um das zusehen definiert man für fixiertes x.

Also: Ja, Summe und Produkt konvergieren wieder absolut.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie konvergieren Potenzreihen?
Genau die Sätze fehlen in meinem alten Skript. Dort wird nur "Konvergenz" behandelt, und dass dann die Summe konvergiert, beim Produkt aber mind eine absolut konvergent sein muss.

Deswegen holper ich mich hier so durch. Augenzwinkern Danke.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie konvergieren Potenzreihen?
Ist dir nun klar, warum Summen und Produkte von absolut konvergenten Reihen wieder absolut konvergieren?
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie konvergieren Potenzreihen?
Richtige Frage. Das müßte man nun ja erstmal zeigen...Darf man die Summenreihe erstmal formel definieren. Warum nicht?

(*)

Diese Summe will ich wie folgt erklären, denn irgenwie muss man doch eine Addition definieren, oder?

(**)

Somit lauten die



Aus den Grenzwertsätzen würde ich nun sagen, dass aus (*) die Konvergenz der Summenreihe gegen "a+b" folgt. Kann man (**) so definieren, oder wird das als Umordnung gewertet? Dann bekomme ich ja Probleme, wenn die Reihen nicht absolut konvergent sind.

Die Argumentatation für abs.... Ne, ich hänge.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch

Da und beschränkt sind, ist also auch beschränkt und somit konvergent.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, also Dreiecksungleichung. Frage war meinerseits noch, ist es ok, die Summe so zu definieren? Nahe liegend ist es ja. Augenzwinkern

Grüße Wink
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Frage war meinerseits noch, ist es ok, die Summe so zu definieren?


Ja. Siehe hier.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie konvergieren Potenzreihen?
Zitat:
Original von tigerbine
(**)

Wozu eigentlich immer dieser Dächer auf den a's und den b's? verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie konvergieren Potenzreihen?
Lol. Damit wollte ich die "Reihenglieder" von den "Koeffizienten" in der Potenzreihe unterscheiden.





Falls ich den Aspekt "Die Potenzreihe als Reihe" gebraucht hätte.

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie konvergieren Potenzreihen?
so, ich bin's nochmal. Wenn nun 2 Potenzreihen mit dem Radius r >0 konvergieren, dann konvergiert das Cauchyprodukt mit einem Konvergenzradius R von (Königsberger, Ana1)



Daraus folgt doch nur für r > 1, dass dann auch gilt



also dass sich der Konvergenzradius vergrößert hat. Wenn 0<r<1, dann kann sich der Konvergenzradius R des Produktes doch auch verkleinern, oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie konvergieren Potenzreihen?
So, ich bins nochmal zu dem Beispiel aus dem Königsberger. Bin mir nicht sicher, ob bei dem speziellen Produkt dort in der Aufgabe überhaupt das Cauchyprodukt gemeint ist, oder nicht eher die komponentenweise Multiplikation (vgl. mit der Addition).


Dennoch bleibt die Frage:

Hat man 2 Reihen, absolut konvergent, mit Radien . Was kann man über den Konvergenzradius des Cauchyprodukts sagen?

Danke Wink
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie konvergieren Potenzreihen?
Der Konvergenzradius des Produktes ist dann größer oder gleich .


Das sieht man leicht ein, wenn man annimmt, er sei kleiner als das Minimum. Bezeichnen wir also mit r den Konvergenzradius des Cauchyproduktes und nehmen an, dass gelte. Wählt man ein mit so ergibt sich der Widerspruch unmittelbar aus der Definition des Cauchyprodukts.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie konvergieren Potenzreihen?
Danke!
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