Darstellende Matrix von L

15.01.2009, 12:45

MarcusL

Darstellende Matrix von L

Alsoooooo folgende Aufgabe smile

http://bildupload.sro.at/a/images/LinA.JPG

Es geht um den 2. Teil der Aufgabe a)

Die Eigenwerte haben wir bereits berechnet/abgelesen Augenzwinkern

EW(1)=2
EW(2)=0
EW(3)=-2

Erst einmal haben wir uns gedacht, dass es eine (!), also DIE darstellende Matrix sein muss...jedoch kommen wir dort auf kein eindeutiges Ergebnis.

Für die erste Bedingung gilt folgendes:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Darauf folgt, dass die darstellende Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ ist!

Jedoch wäre dann für die 2. Bedingung die Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

und so weiter...
jedoch sind das ja mehrere Matrizen :-O

Öhm...*Gedankenblitz*
...mir kommt grad in den Sinn, das die darstellende Matrix ja theoretisch ein Vektor aus dem $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ ist???

Also quasi $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dann so zu interpretieren:

$\begin{eqnarray*} x * \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + y * \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + z * \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
???

Aber DANN wären es immernoch 3 verschiedene darstellende Matrizen?!
bzw. die allgemeine darstellende Matrix wäre:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0x+3y+2z & x \\ 0 & 1y-2z \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

OMG totale Verwirrung!

Vielen Dank schonmal smile

MfG

15.01.2009, 13:15

klarsoweit

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RE: Darstellende Matrix von L

Zitat:

Original von MarcusL
Öhm...*Gedankenblitz*
...mir kommt grad in den Sinn, das die darstellende Matrix ja theoretisch ein Vektor aus dem $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ ist???

Du bildest doch einen 3-dimensionalen Vektorraum (das ist die lineare Hülle über der Basis B) auf sich selbst ab. Also muß die darstellende Matrix der Abbildung L eine 3x3-Matrix sein. Da die Basis aus Eigenvektoren besteht, ist auch sofort klar, wie die Matrix auszusehen hat.

15.01.2009, 14:50

MarcusL

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So, ich würde erstmal gern schauen, ob ich das Thema Eigenwerte/-vektoren bis zum jetzigen Zeitpunkt richtig verstanden habe:

Ich habe eine darstellende Matrix A die das Format 3x3 hat, weil ich wie folgt mit ihr rechne:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das heißt, ich bilde mit der Matrix vom 3 dimensionalen Raum (und zwar 3dimensional, weil die obere 2x2-Dreiecksmatrix 3 variable Einträge hat) wieder in den 3 dimensionalen Raum ab.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} A*\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} L(\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} ) = \begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit, kann ich dann den Eigenwert berechnen, denn ich weiß:
$\begin{eqnarray*} A*\vec{x} = \alpha \vec{x} \end{eqnarray*}$ also ist $\begin{eqnarray*} \alpha = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ ist dabei der Eigenvektor für den Eigenwert $\begin{eqnarray*} \alpha = 2 \end{eqnarray*}$ und damit ist die darstellende Matrix (die sich aus den Eigenvektoren zusammensetzt)

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

/edit: Grad nochmal richtig gelesen, nicht die Matrix, sondern die Basis besteht aus den Einheitsvektor...ok lasst mich noch ein wenig überlegen, wie die Abbildende Matrix aussehen muss...aber der Rest ist soweit in Ordnung, oder?

15.01.2009, 15:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von MarcusL
Das heißt, ich bilde mit der Matrix vom 3 dimensionalen Raum (und zwar 3dimensional, weil die obere 2x2-Dreiecksmatrix 3 variable Einträge hat) wieder in den 3 dimensionalen Raum ab.

Bis dahin ist es richtig. Der Rest ist Unfug.

Du solltest dir nochmal dringend anschauen, wie man die darstellende Matrix findet. Du berechnest dazu das Bild der einzelnen Basisvektoren und bestimmst den Koordinatenvektor des Bildes bezüglich der Basis des Bildraumes. Diese Koordinatenvektoren schreibst du als Spalten in eine Matrix. Fertig.

15.01.2009, 16:24

MarcusL

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Ich werd erstmal ne Pause machen,
she vor lauter Zahlen grad durch die simpelsten Sachen nich mehr durch -.- Hab als Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

aber iwie...keine Ahnung...

Meld mich wieder, wenn ich'n klaren Kopf hab smile

Danke schonmal für deine bisherige Hilfe!!!

15.01.2009, 18:51

klarsoweit

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Das sieht doch gar nicht so schlecht aus (sprich: die Matrix ist ok). smile

Schau dir mal die Werte auf der Diagonalen an. Fällt dir was auf? Augenzwinkern

15.01.2009, 19:30

MarcusL

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Ja, die Eigenwerte bilden die "Hauptdiagonale" der Matrix smile

öhm...warte, davon hab ich im Zuge meiner "Recherchen" gelesen...Diagonalisierbarkeit usw...sollt ich mir wohl nochmal anschaun Augenzwinkern

hmmm

dann danke smile

LG

Marcus

25.01.2009, 17:57

p2501

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wie sieht das charakteristische Polynom zu L aus?: ich würde es allein aus den EW bestimmen:
$\begin{eqnarray*} p(x)=x(x-2)(x+2) \end{eqnarray*}$

25.01.2009, 18:40

p2501

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edit
es soll bestimmt werden ob L injektiv/surjektiv/bijektiv ist:
nach wikipedia: $\begin{eqnarray*} f: V \Rightarrow W \end{eqnarray*}$

injektiv - wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind
surjektiv - wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix ein Erzeugendensystem von W bilden
bijektiv - wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix eine Basis von W bilden

Lösung: D - darstellende Matrix

injektiv - nein, da $\begin{eqnarray*} Kern D = span \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; aber es müsste gelten $\begin{eqnarray*} Kern D = span \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
surjektiv - ja. da alle Vektoren auf ein Vielfaches von der Basis $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ abgebildet werden. und diese lässt sich aus den Spaltenvektoren von D kombinieren.
surjektiv - nein, weil die Spaltenvektoren nicht lin. unabh. sind

oder?

Frage: warum schließen wir von Vektoren(1x3) auf Matrizen(2x2) und können sagen, dass diese durcheinander darstellbar sind. ... können wir? Forum Kloppe

ps.: die fragen beziehen sich nat. alle auf das von MarcusL gestellte problem.

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