Basis aus Eigenvektoren

15.01.2009, 13:55

Mulder (Gast)

Basis aus Eigenvektoren

Huhu, mal wieder eine Aufgabe, bei der ich etwas festsitze. Also...

Gegeben seien ein Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , ein Endomorphismus $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , sowie eine Familie $\begin{eqnarray*} \mathfrak B \end{eqnarray*}$ von Vektoren aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Überprüfen Sie, ob $\begin{eqnarray*} \mathfrak B \end{eqnarray*}$ eine Basis aus Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist. Falls ja, geben Sie $\begin{eqnarray*} M_B^B(F) \end{eqnarray*}$ an.

$\begin{eqnarray*} V = \mathbb R^3 \, , \, \, \, F \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x+2y-2z \\ -4x-3y+2z \\ -z \end{pmatrix} \, , \, \, \, \, \, \mathfrak B = \left ( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right ) \end{eqnarray*}$

Also zunächst einmal schaut man ja, ob die Vektoren von $\begin{eqnarray*} \mathfrak B \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind. Das sind sie und damit ja auch sicher eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ weil wegen Dimension und so. Wenn ich nun sehen will, ob diese Vektoren auch wirklich Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ sind, reicht es dann, wenn ich nachweise, dass diese Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathfrak B \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ auf ein vielfaches von sich selbst abgebildet werden? Normalerweise wäre es doch so, dass dieses vielfaches gerade ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ sein müsste, oder? Aber die Eigenwerte habe ich ja (noch) gar nicht. Kann ich das so machen oder muss ich erst eine Darstellungsmatrix aufstellen und daraus die Eigenwerte der Abbildung ermitteln?

Denn wenn ich jetzt einfach mal die Bilder dieser Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathfrak B \end{eqnarray*}$ betrachte, ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das wären ja alles vielfache. Meine Frage ist nun: Wenn ich daraus eine Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} M_B^B(F) \end{eqnarray*}$ bestimmten wollte, müsste ich doch einfach nur die Bilder nehmen und als Spalten in eine Matrix schreiben, oder? Mein Problem ist nun aber, dass dann die Probe nicht hinhaut, sprich dass ich hier habe:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \neq F\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das dürfte doch eigentlich nicht sein, oder? Wo steckt mein (Denk-)Fehler? Wäre nett, wenn sich das mal jemand anschauen könnte.

15.01.2009, 14:03

JustPassingBy

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Dein Fehler ist die Basis.

Du musst dir die Frage stellen:
Auf welche Vektoren -ausgedrückt durch die Basisvektoren von B- werden die Basisvektoren von B abgebildet.

Und da die sämtliche Basisvektoren Eigenwerte sind, ist dieses Problem recht einfach.

15.01.2009, 14:13

Mulder (Gast)

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Danke schonmal, aber das hat mir nicht wirklich geholfen.

Zitat:

Original von JustPassingBy
Auf welche Vektoren -ausgedrückt durch die Basisvektoren von B- werden die Basisvektoren von B abgebildet.

Könntest du das etwas konkretisieren? Ich verstehe leider überhaupt nicht, was du sagen möchtest.

Zitat:

Original von JustPassingByUnd da die sämtliche Basisvektoren Eigenwerte sind, ist dieses Problem recht einfach.

Was ist gemeint? Vektoren sind doch keine Eigenwerte. Oder wolltest du sagen, dass alle Basisvektoren Eigenvektoren sind?

15.01.2009, 16:06

Mulder (Gast)

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RE: Basis aus Eigenvektoren
Hmm... ich glaube, ich bin etwas weiter gekommen. Allerdings habe ich immer noch nicht das, was ich eigentlich haben will. Also, die Vorgehensweise, die ich angewandt habe, funktioniert so wohl nur bei der kanonischen Basis, ja? Für eine andere Basis muss ich die Koordiatenvektoren der Bilder der Basisvektoren in eine Matrix schreiben? Habe ich das jetzt richtig verstanden? Wenn ich das im vorliegenden Beispiel so mache, stehe ich leider immer noch vor dem selben Problem.

Ich benenne die einzelnen Vektoren der vorliegenden Basis $\begin{eqnarray*} \mathfrak B \end{eqnarray*}$ mal eben zwecks Übersichtlichkeit: $\begin{eqnarray*} \mathfrak B = ( b_1, b_2, b_3 ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = -1b_1 + 0b_2 +0b_3 \Rightarrow v_1' = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0b_1 + 1b_2 +0b_3 \Rightarrow v_1' = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = 0b_1 + 0b_2 -1b_3 \Rightarrow v_1' = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Koordiatenvektoren $\begin{eqnarray*} v_i' \end{eqnarray*}$ bilden nun also, wenn ich sie als Spalten in eine Matrix schreibe, meine Abbildungsmatrix?

$\begin{eqnarray*} M_\mathfrak B^\mathfrak B(F) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auch hier versagt leider die Probe. Was mache ich denn nun wieder falsch? unglücklich

18.01.2009, 02:07

Mulder

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RE: Basis aus Eigenvektoren
Also das, was hier im Allgemeinen unter "pushen" verstanden wird, mache ich zwar nur sehr ungerne, aber da eine Antwort bereits seit nunmehr über 2 Tagen auf sich warten lässt und der Thread mittlerweile auf Seite 2 abgerutscht war, wurde ich etwas skeptisch. Augenzwinkern

Kann denn niemand kurz aushelfen, woran es da schlussendlich bei mir hapert? Wink

18.01.2009, 02:19

tigerbine

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RE: Basis aus Eigenvektoren

Zitat:

$\begin{eqnarray*} V = \mathbb R^3 \, , \, \, \, F \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x+2y-2z \\ -4x-3y+2z \\ -z \end{pmatrix} \, , \, \, \, \, \, \mathfrak B = \left ( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \right ) \end{eqnarray*}$

Nun ist hier ja nicht gesagt, bzgl. was x,y,z angeben sind. Gehen wir von der Standardeinheitsbasis E3 aus. Dann lautet die Darstellende Matrix:

$\begin{eqnarray*} M_{E3}^{E3} = \begin{pmatrix} 3&2&-2 \\ -4 &-3&2 \\ 0&0&-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Vektoren von B kennen wir also als Koordinatenvektoren bzgl. E3. Nachrechnen zeigt, dass es Eigenvektoren sind. Wie lauten die zugehörigen Eigenwerte?

Nun soll M bzgl. einer anderen Basis dargestellt werden. Was zu tun ist steht hier: [Artikel] Basiswechsel

Ich rechne nun mal.

code:

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45:
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47:
48:
49:
50:
51:

 
Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 3
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [0,1,1]
Vektor 2: [1,-1,0]
Vektor 3: [1,0,2]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [0,1,1]
Vektor 2: [1,-1,0]
Vektor 3: [1,0,2]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 1
 
M = [3,2,-2;-4,-3,2;0,0,-1]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
     0     1     1
     1    -1     0
     1     0     2
M1 =
     3     2    -2
    -4    -3     2
     0     0    -1
TI =
     2     2    -1
     2     1    -1
    -1    -1     1
M2 =
    -1     0     0
     0     1     0
     0     0    -1

Nicht verwunderlich, dass wir nun eine Diagonalmatrix haben. Sind die Vektoren von B doch offensichtlich l.u. und somit entsprechen geo. und alg.Vielfachheiten sich und M ist diagonalisierbar. Nicht anderes wurde hier gemacht.

Also was meinst du mit, die Probe versagt?

18.01.2009, 13:07

Mulder

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RE: Basis aus Eigenvektoren
Vielen lieben Dank für deine Mühen!

Zitat:

Original von tigerbine
Die Vektoren von B kennen wir also als Koordinatenvektoren bzgl. E3. Nachrechnen zeigt, dass es Eigenvektoren sind.

Hier weiß ich nicht so genau, wie du das nun machst. Ist meine Variante, einfach zu schauen, ob die Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathfrak B \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ auf ein vielfaches von sich selbst abgebildet werden, denn falsch?

Zitat:

Original von tigerbineAlso was meinst du mit, die Probe versagt?

Die Darstellungsmatrix, die ich aufgestellt hatte, und die bei deiner Rechnung nun ganz unten genau so auftaucht, müsste die nicht eigentlich die Eigenschaft haben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = F\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

Oder funktioniert das in der Form wirklich nur, wenn man die Darstellungsmatrix bezüglich der kanonischen Basis betrachtet? Mir fehlt insgesamt bei dieser Eigenwertthoerie leider noch ein wenig der Überblick... unglücklich

Hatte ich also im Grunde nichts falsch gemacht in meiner Rechnung?

18.01.2009, 13:11

tigerbine

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RE: Basis aus Eigenvektoren
1. Nachrechnen, ob EV kannst du wie du magst. Das habe ich doch gar nicht kritisiert.

2. Wo ist hier der Fehler? In deiner Ungenauen Schreibweise. Was sollen x,y,z sein? Das sind Koordinaten. Und zu denen gehört ein Koordinatensystem = Basis. Die fehlt. Wenn M bzgl. B angegeben ist, dann musst du einen Vektor bzgl. B reintun, und bekommst einen bzgl. B auch wieder raus.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = F\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du solltest mal im Fischer was zum Thema Koordinatentranformation lesen. Deine Probleme hier haben nichts mit Eigenwerten zu tun.

Wink

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Basis aus Eigenvektoren

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