Existenzsatz von Peano gilt wann und wo?

05.09.2006, 15:22

°°Ben³

Existenzsatz von Peano gilt wann und wo?

Hallo,
ich habe mir gerade mal den Existenzsatz von Peano zur Existenz einer Lösung eines Anfangswertproblems (AWP) angeschaut.

Jou, recht simpel die Aussage.
Ist die "rechte Seite", also die Funktion f(x,y) stetig, so existiert eine Lösung für das AWP.

Nett .. meine Frage ist nun aber, warum bei Harro Heuser, Gewöhnliche Differentialgleichungen auf Seite 136 (vierte Auflage), in Satz 11.1 steht, dass die Funktion stetig auf dem kompakten Rechteck R:= {(x,y) : |x-x0| <= a; |y-y0| <= b} sein muss.

Ist dieser Existenzsatz also gar nicht für allgemeine Definitionsbereiche gültig? Kann ich mir irgendwie nicht vorstellen, weil der mir ständig um die Ohren fliegt. Augenzwinkern

Ich habe auch bei Wikipedia geschaut *klick*, aber das verwirrt mich dann noch etwas mehr .. ich glaube da eigentlich immer gerne "dem Heuser".
Bei Wikipedia steht noch etwas bzgl. der Fortsetzung der lokalen Lösung ..

Zitat:

Entweder lässt sich die Lösung bis t1 fortsetzen, oder die Lösung wächst innerhalb des Intervalls über alle Schranken.

Menno. Ich bin doof. Was heißten das? verwirrt

Ich danke Euch für Eure Hilfe.
Grüße, Ben. Freude

05.09.2006, 18:16

Ambrosius

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Steht denn etwa nur die Fassung des Satzes von Peano in dem Heuser? Der eigentliche Satz von Peano ist auch auf einem kompakten beheimatet.

Das man ihn sogut immer anwenden kann, liegt daran, das man dann offene Mengen hat. Und in jeder offenen Menge kann man einen kompakten Zylinder finden der wieder ganz in der offenen Menge liegt.

Lies mal im Heuser etwas weiter und schau ob noch eine zweite Version des Satzes kommt.

05.09.2006, 22:12

°°Ben³

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Hi,
ich habe es in einem anderen Buch super beschrieben gefunden.
Bernd Aulbach, Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Dort wird der Satz auch in seiner quantitativen und qualitativen Fassung dargestellt, erläutert und bewiesen.
Die Grafiken tun den Rest. Augenzwinkern

Kannst du (oder irgendwer anders) mir vielleicht noch sagen, was mit dem Fettgedruckten aus dem Wikipedia-Zitat gemeint ist?
Also ich finde da die Ausdrucksweise irgendwie verwirrend. verwirrt

Danke.

05.09.2006, 23:17

Ambrosius

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Also ich empfehele dir zur Beantwortung der Frage im Aulbach - Buch weiter zu lesen. Kurze zeit später wird der globale Existenz - und Eindeutigkeitssatz vorgestellt.

Ich werd dir trotzdem schon mal versuchen eine Erklärung zu liefern.

Man sucht bei Lösungen stets das größtmögliche Existenzintervall. Der Satz von Peano liefert aber für die Lösung ein kompaktes Intervall. Und in vielen Fällen existiert die Lösung über die Intervallgrenzen hinaus.

Nun gibt es zwei Möglichkeiten:

Entweder die Lösung existiert nicht über die Intervallgrenzen hinaus. Dann muss die Lösung unbeschränkt sein. Es gibt da sones Merksatz: "Maximale Lösungen laufen von Rand zu Rand". Das heißt, es kann nicht sein, das die Lösung im Intervall plötzlich aufhört zu existieren.

Zweite Möglichkeit:
Wie schon oben erwähnt, reichen kompakte Intervalle meist nicht aus, da das Existenzintervall der Lösungen maximal sein soll und die Lösung auch außerhalb des Intervalls existieren kann. Die Idee ist nun, das man die Randpunkte des Intervalls als neue Anfangswerte auffasst, und nun wieder den Satz anwendet. Dies bezecihnet man als stetige Fortsetzung der Lösungen. Wieder erhält man ein kompaktes Intervall und so vergrößert sich das Intervall weiter.

Das nicht ganz R als Existenzintervall sein muss, liegt daran das die Längen der hinzukommenden Stücke an den Intervallgrenzen gegen 0 konvergieren.

Les einige Abschnitte weiter, da wird das ausführlichst erklärt werden.

Und beachte noch das der Satz von Peano im Prinzip völlig unwichtig ist. Er liefert nur die Existenz einer Lösung, nicht aber deren Eindeutigkeit.

Ich hoffe ich konnte dir etwas helfen smile

07.09.2006, 11:45

°°Ben³

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Hallo,
erstmal: Sauber beschrieben. Freude

Man sucht bei Lösungen stets das größtmögliche Existenzintervall. Der Satz von Peano liefert aber für die Lösung ein kompaktes Intervall. Und in vielen Fällen existiert die Lösung über die Intervallgrenzen hinaus.[/quote]
Das war mir klar, aber gleichzeitig war es auch der Punkt, der mir unklar war verwirrt

..
Eigentlich hatte ich es also verstanden. Hammer

Zu deinen Ausführungen habe ich aber noch eine Frage.

Zitat:

Original von Ambrosius
Entweder die Lösung existiert nicht über die Intervallgrenzen hinaus. Dann muss die Lösung unbeschränkt sein.

Ich hätte jetzt gesagt, dass die Lösung genau deshalb beschränkt ist .. und zwar gerade durch die Intervallgrenzen des Lösungsintervalls.

Zitat:

Original von Ambrosius
Und beachte noch das der Satz von Peano im Prinzip völlig unwichtig ist. Er liefert nur die Existenz einer Lösung, nicht aber deren Eindeutigkeit.

War bzw. ist mir bewusst, allerdings wollte ich einfach mal umfassender lernen und nicht immer so auf Lücke. Big Laugh

Das Problem, welches ich hatte ist also gelöst.
Jetzt mache ich aber natürlich weiter und bin gestern dann zum Satz von Picard-Lindelöf gekommen, der, so wie ich das verstehe, eigentlich nur eine Erweiterung des Satzes von Peano ist, da er durch die geforderte Lipschitz-Stetigkeit der "rechten" Seite des AWP die Eindeutigkeit der Lösung sicherstellt.

Richtig verstanden?
Okay. Ich habe Probleme mit dem Begriff der Lipschitz-Stetigkeit was das Verständnis derselben angeht.
Die Eindeutigkeit der Lösung wird dadurch sichergestellt, dass die Funktion Lipschitz-stetig ist. Gut.
Was heißt das denn nun genau?

In einem Beispiel mit der Funktion $\begin{eqnarray*} g(s,x) := s\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ wird ausgesagt, dass diese Funktion auf dem gesamten Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \times (0,\infty) \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht global Lipschitz-stetig ist, da bei x = 0 ein senkrechter Anstieg existiert.

Das Beispiel ist einzusehen im Buch von Aulbach, Seite 67, Beispiel 2.3.6.

Frage 1:
Müsste der Definitionsbereich nicht die 0 mit einschließen, damit die Aussage stimmt? Wenn die 0 nicht zum Definitionsbereich gehört, so ist die rechte Seite doch Lipschitz-stetig, oder?

Frage 2:
Warum ist eine Funktion nicht Lipschitz-stetig, wenn eine senkrechte Steigung existiert?
Ich verstehe das einfach nicht .. traurig

Danke für Eure Hilfe.

Zitat:

Original von Ambrosius
Ich hoffe ich konnte dir etwas helfen smile

Ja, konntest du .. hoffentlich auch weiterhin. Big Laugh

Grüße, Ben.

[EDIT]
Ich glaube ich habe was gefunden:
--> Lipschitz-Bedingung

Da muss ich mich mal etwas mit befassen ...

08.09.2006, 10:01

Ambrosius

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Zitat:

Original von °°Ben³

Jetzt mache ich aber natürlich weiter und bin gestern dann zum Satz von Picard-Lindelöf gekommen, der, so wie ich das verstehe, eigentlich nur eine Erweiterung des Satzes von Peano ist, da er durch die geforderte Lipschitz-Stetigkeit der "rechten" Seite des AWP die Eindeutigkeit der Lösung sicherstellt.
Richtig verstanden?

Zitat:

Original von °°Ben³

Okay. Ich habe Probleme mit dem Begriff der Lipschitz-Stetigkeit was das Verständnis derselben angeht.
Die Eindeutigkeit der Lösung wird dadurch sichergestellt, dass die Funktion Lipschitz-stetig ist. Gut.
Was heißt das denn nun genau?

Nun, das du durch eine kleine zusatzforderung auch die eindeutigkeit bekommst. alle stetig differenzierbaren Funktionen sind Lps.stetig, und somit lässt sich der Satz sehr oft verwenden.

Zitat:

Original von °°Ben³
In einem Beispiel mit der Funktion $\begin{eqnarray*} g(s,x) := s\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ wird ausgesagt, dass diese Funktion auf dem gesamten Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \times (0,\infty) \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht global Lipschitz-stetig ist, da bei x = 0 ein senkrechter Anstieg existiert.

Das Beispiel ist einzusehen im Buch von Aulbach, Seite 67, Beispiel 2.3.6.

Frage 1:
Müsste der Definitionsbereich nicht die 0 mit einschließen, damit die Aussage stimmt? Wenn die 0 nicht zum Definitionsbereich gehört, so ist die rechte Seite doch Lipschitz-stetig, oder?

Ich denke nicht, weil in der Art und weise wie der Nachweis geliefert wird, die 0 eh ausgenommen sein müsste. Das heißt man müsste einschränkungen machen.
Vielleicht könnte man die 0 auch hinzunehmen (und dann annehmen z.B. x=0 und $\begin{eqnarray*} y \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist aber für den Nachweis nicht erforderlich, denn es würde aufs gleiche hinauslaufen. mehr dazu bei Frage 2 smile

Zitat:

Original von °°Ben³

Frage 2:
Warum ist eine Funktion nicht Lipschitz-stetig, wenn eine senkrechte Steigung existiert?

Also. der Einfachheit halber nehmen wir den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ . Eine Funktion heißt dann ja lps stetig, wenn es ein $\begin{eqnarray*} L \geq 0 \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} | \frac{f(x)-f(y)}{x-y}| \leq L \end{eqnarray*}$ .Der linke Bruch ist doch nix weiter als die Sekantensteigung zwischen den Punkten x und y. (Mit anwendung des Limes wirds zur Tangentensteigung). Die Lps. Bedingung sagt also aus, das die Sekantensteigungen beschränkt sind. Bei der Wurzelfunktion herrscht im Bereich der 0 ein "senkrechter" Anstieg. So könnte man es anschaulich erklären. Ersetzt natürlich nicht den Beweis:

Es ist ja $\begin{eqnarray*} \frac{|\sqrt{x} - \sqrt{y}|}{|x-y|} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \end{eqnarray*}$ Diese Umformung gilt ja nur für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \neq 0 \end{eqnarray*}$ , was ja eh klar ist, weil 0 nicht im Def.bereich liegt. Wenn man sich nun der 0 nähert wächst der Term unendlich schnell.

Nehmen wir die 0 zum Defbereich hinzu:

Dann müssen wir bei der obigen Umformung solch eine Annahme machen. Nämlich $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Setzen wir also o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ insbesondere also $\begin{eqnarray*} y \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann haben wir:

$\begin{eqnarray*} \frac{|\sqrt{0} - \sqrt{y}|}{|0-y|} = \frac{1}{\sqrt{0} + \sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}} \end{eqnarray*}$ . Und ändert nichts an der Aussage, weil auch dieser Bruch bei Annäherung an die 0 unendlich wächst.

Von daher ist es unwesentlich ob die 0 dabei ist oder nicht.

08.09.2006, 10:07

°°Ben³

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Danke. Das werde ich erstmal durcharbeiten .. aber vorher muss ich erstmal aufwachen. Augenzwinkern

Super.

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