Fachgebiet! Dimension von Kern, Bild und Urbild

15.01.2009, 16:36	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension von Kern, Bild und Urbild Gegeben sind eine Matrix $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R^{4,4} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Kern(A)={s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} } , s \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Gesucht ist neben anderen Dingen die Dimension vom Kern und vom Bild. Ich weiß: Die Dimension eines Vektorraumes ist gleich der Anzahl der Elemente einer Basis. Also betrachte ich Kern und Basis als Vektorraum. Da die Basis des Kerns nur ein Vektor ist (bzw. Vielfache davon) ist Dim(Kern)=1. Nun weiß ich noch das dim(Kern)+dim(Bild)=dim(Urbild) ist. Habe ich nun also auch noch meine Dimension vom Urbild habe ich auch die Dimension des Bildes. Leider habe ich mit dem Begriff des Urbildes so meine Probleme. Ich würde jetzt dim(Urbild) auf 4 raten (wegen einer 4x4-Matrix), aber erklären kann ich es mir nicht. Dim(Bild) wäre dann 3. Kann mir jemand einfach erklären was mein Urbild und was die Dimension dieses ist ?
15.01.2009, 16:42	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension von Kern, Bild und Urbild Die Abmessungen der Matrix verraten für die lineare Abbildung dargestellt durch die Matrix A: $\begin{eqnarray} fLA:~V \to W \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dim(V)=4,~\dim(W)=4 \end{eqnarray}$ Der Kern ist ein UVR von V. Da er nur aus einemVektor besteht hat er die Dimension 1. Wir bilden zwischen endlich Dimensionalen Räumen ab, also gilt die Dimensionsformel. Somit ist die Dimension des Bildraums, was ein UVR von W ist, gleich 3.
15.01.2009, 16:51	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergo habe ich Lineare Abbildungen mit nxn-Matrizen, ist die Dimension des Urbildes gleich n ? Oder anders: Betrachte ich den Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{4} \end{eqnarray}$ , dann beeinhaltet eine Basis dieses VR 4 Elemente. Daher ist die Dimension gleich 4 ?
15.01.2009, 17:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
jo.
15.01.2009, 17:11	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Was wäre wenn meine Matrix nun aber z.B. 3x4 wäre.? dann wäre die Dimension des Urbildes gleich 3 ? Oder Müssen Matrizen in LA quadratisch sein ?
15.01.2009, 17:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, müssen sie nicht. Argumentation lauft gleich. steht in dem Satz eigentlich alles drin.
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