Pyramide aus Quadratzahlen

15.01.2009, 19:03

Julia Siegert

Pyramide aus Quadratzahlen

Hallo,
ist euch das schon mal aufgefallen:

$\begin{eqnarray*} 99^2=9801 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 999^2=998001 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9999^2=99980001 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 99999^2=9999800001 \end{eqnarray*}$

mit der Anzahl der 9nen vorne werden die 9en der Quadratzahl und die 0en immer eine mehr. Die 8 in der Mitte und die 1 am Ende bleiben jedoch immer. Ich vermute die "81" kommt von $\begin{eqnarray*} 9^2 \end{eqnarray*}$ . Aber wie ist das zu Erklären das ganze Sachverhalt und kennt ihr noch ähnliche Phänomene?

Viele Grüße Julia

15.01.2009, 19:10

Zizou66

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$\begin{eqnarray*} 99^2=100^2-100-99 \end{eqnarray*}$

Allgemein ist sogar

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2=n^2+n+(n+1)=n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$

Das ganze ist also eine Besonderheit der 1.binomischen Formel für zwei aufeinanderfolgende Zahlen.

Daher kannst du die 8 und die 1 jetzt auch etwas genauer erklären. Nämlich wie?

15.01.2009, 19:31

Julia Siegert

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Also es gilt ja dann: $\begin{eqnarray*} n^2=(n+1)^2-2n-1 \end{eqnarray*}$ . Die 81 kommt also aus dem letzteren Teil -2n-1. ehr interessant das ganze. Ich werde bei gelegenheit mal probieren zu beweisen, dass es für alle Zahlen also bis 999999999.........9 geht. Das dürfte ja über vollständige Induktion gehen oder? Da muss ich aber erstmal meine Kenntnisse auffrischen und einen Induktionsanfang finden.

16.01.2009, 15:19

Zizou66

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Zitat:

Original von Julia Siegert
Die 81 kommt also aus dem letzteren Teil -2n-1

Naja, die Begründung finde ich eher nicht so schön, aber sie ist natürlich auch richtig. Schön finde ich sie nicht, weil dadurch nicht klar wird, wieso da die Nullen zwischen kommen.

Ja, das kann man mit vollständiger Induktion machen. Ich würde dir empfehlen die Zahlen "999...9" also $\begin{eqnarray*} 10^n-1 \end{eqnarray*}$ darzustellen. Dann sollte es ganz einfach werden. Der Induktionsanfang ist dann auch einfach zu finden.

16.01.2009, 17:49

Julia Siegert

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Hast du noch eine bessere Begründung für das ganze? Also mit der 81?

17.01.2009, 16:07

Zizou66

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Wie gesagt, die von dir zuerst gegebene Begründung ist auch korrekt. Sie erlaubt jedoch keine anschaulichen Rückschlüsse auf die Nullen, die sich zwischen die 1 und die 8 schieben.

Ich hätte es so geschrieben:

$\begin{eqnarray*} n^2=(n+1)^2-n-(n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n^2=(n+1)\cdot(n+1)-n-(n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n^2=(n+1)\cdot n -n \end{eqnarray*}$

Einsetzen für n: $\begin{eqnarray*} n=10^k-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (10^k-1)^2=10^k\cdot(10^k-1)-10^k+1 \end{eqnarray*}$

Ich glaube jetzt ist klar, wie ich argumentieren würde smile

Mach dir das ruhig mal durch einsetzen von ein paar Werten für k klar...

17.01.2009, 16:32

Leopold

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ACHTUNG!

Diese Aufgabe hat große Ähnlichkeit mit einer Aufgabe des diesjährigen Bundeswettbewerbs Mathematik. Nicht zu viel verraten!

17.01.2009, 16:54

Julia Siegert

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Halo,
also die 0en ürften vondem ersten $\begin{eqnarray*} 10^n \end{eqnarray*}$ kommen. Nur mir ist diese Umformung noch nicht ganz klar:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n^2=(n+1)\cdot(n+1)-n-(n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n^2=(n+1)\cdot n -n \end{eqnarray*}$

17.01.2009, 17:03

Julia Siegert

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@Leopold: sorry, das wusst ich nicht also dann bitte nix verraten, was dem Wettbewerb entspricht. Sonst muss ich mich dem Problem ein ander Mal widmen.

17.01.2009, 17:30

Zizou66

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Für diese Umformung musst du einfach nur (n+1) ausklammern.

Wir können uns deinem Problem weiterhin widmen, denke ich. Auch ich kenne die Aufgabe des Wettebewerbs und versuche daher keine Hilfen zu geben, die man eben auch bei der Bewältigung der Aufgabe des BWM braucht. Natürlich würde dir das, was ich dir schon gesagt habe auch helfen, wenn du diese Ergebnisse jedoch auf die Aufgabe des BWM überträgst, musst du schon einiges an Eigenarbeit leisten, daher glaube ich, dass die Hilfestellung den Rahmen des Bundeswettbewerbs nicht verletzt.

17.01.2009, 17:35

tigerbine

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Vielleicht machen wir dann einfach mal Pause hier. Augenzwinkern

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