Zwei Fragen zu Bewertungen

15.01.2009, 19:36	rudi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Fragen zu Bewertungen Hi, eine Bewertung ist eine Abbildung $\begin{eqnarray} \nu: R \to \mathbb{Z} \cup \infty \end{eqnarray}$ für die gilt: - $\begin{eqnarray} \nu(xy) = \nu(x) + \nu(y) \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \nu(x+y) \geq \min (\nu(x),\nu(y)) \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \nu(x) = \infty \Leftrightarrow x=0 \end{eqnarray}$ Gegeben sei eine nicht triviale Bewertung über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ . Man soll zeigen: 1) $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{Z}, \nu(n) > 0 \Rightarrow p \mid n \end{eqnarray}$ , wobei p die kleinste Primzahl ist mit $\begin{eqnarray} \nu(p) > 0 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{Q}, x = \frac{a}{b} p^r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}, p \nmid a, p \nmid b, r \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \nu(x) = r \end{eqnarray}$ Bei diesen beiden Aufgaben weiß ich nicht, warum sie gelten. Zu 1) würde ich sogar sagen, sie stimmt nicht. Angenommen p ist die kleinste Zahl mit $\begin{eqnarray} \nu(p)>0 \end{eqnarray}$ . Warum könnte denn dann z.b. nicht $\begin{eqnarray} \nu(q)>0 \end{eqnarray}$ für eine Primzahl $\begin{eqnarray} q>p \end{eqnarray}$ gelten? Bei Aufgabe 2) habe ich leider noch keinen Ansatz.
15.01.2009, 20:08	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwei Fragen zu Bewertungen Ich denke, hier solltest Du Dich erst etwas weiter mit den Eigenschaften einer Bewertung beschäftigen und erst dann die Aufgaben anpacken. Dazu ein paar Denkanstöße: i) Was ist $\begin{eqnarray} \nu (1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \nu (-1)? \end{eqnarray}$ ii) Was kann man damit über $\begin{eqnarray} \nu (x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ aussagen? Jetzt solltest Du 1) lösen können - hilfreich ist dabei auch die Aussage des erweiterten euklidischen Algorithmus. Zu 2): Was ist $\begin{eqnarray} \nu \left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray}$
15.01.2009, 20:25	rudi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ahh, mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus habe die 1) per Widerspruch lösen können. Zur 2): $\begin{eqnarray} \nu\left( \frac{1}{x} \right) = -\nu(x) \end{eqnarray}$ . Dann müsste ja gelten $\begin{eqnarray} \nu(x) = \nu(a) - \nu(b) + r \cdot \nu(p) = r \cdot \nu(p) \end{eqnarray}$ weil wegen 1) $\begin{eqnarray} \nu(a) = \nu(b) = 0 \end{eqnarray}$ sind (denn $\begin{eqnarray} \nu(x) \geq 0 \quad \forall_{x \in \mathbb{Z}} \end{eqnarray}$ ). Falls das stimmen sollte ist mir aber nicht klar, warum $\begin{eqnarray} \nu(p) = 1 \end{eqnarray}$ ist.
15.01.2009, 20:50	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus. Weshalb $\begin{eqnarray} \nu (p)=1 \end{eqnarray}$ sein sollte kann ich aber auch nicht sagen, da ja letztlich auch die Abbildung $\begin{eqnarray} \mu (x):=2\cdot \nu (x) \end{eqnarray}$ die geforderten Eigenschaften erfüllt. Ich denke, dass $\begin{eqnarray} \nu (x)=r\cdot \nu (p) \end{eqnarray}$ ist. Mehr kann man mMn nicht zeigen.
15.01.2009, 21:20	rudi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das ist dann sicher ein Tippfehler in der Aufgabe (nicht der einzige auf dem Blatt). Dankeschön!

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