E(X^n) einer poissonverteilten Zufallsgröße

16.01.2009, 11:31

Wusel

E(X^n) einer poissonverteilten Zufallsgröße

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe bekommen:

Zeigen Sie:
Ist X poissonverteilt mit dem Parameter "lambda">0 so gilt für alle n Element N

E(X^n)= "lambda"*E((X+1)^(n-1)) .

In der Vorlesung hatten wir bisher nur eine Produktformel für unabhängige Zufallsgrößen, aber ich denke nicht, dass X zu sich selbst unabhängig ist.

Nach ein wenig googeln bin ich auf die Formel E(X*Y) = E(X)*E(Y)+Cov(X,Y) gestoßen, die für abhängige Zufallsgrößen gelten soll. Demnach bleibt also eigentlich "nur" noch zu zeigen, dass Cov(X,X^(n-1)) = Cov(X,X) , dann könnte man Cov(X,X)=Var(X) ansetzen und wäre fertig.

Für andere Vorschläge bin ich natürlich auch offen...

Vielen Dank schonmal im Voraus.

16.01.2009, 13:23

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Zitat:

Original von Wusel
Demnach bleibt also eigentlich "nur" noch zu zeigen, dass Cov(X,X^(n-1)) = Cov(X,X) , dann könnte man Cov(X,X)=Var(X) ansetzen und wäre fertig.

Das ist total falsch - in diesen Überlegungen ist nicht im geringsten die Struktur $\begin{eqnarray*} (X+1)^{n-1} \end{eqnarray*}$ erkennbar. unglücklich

Nachzuweisen ist

$\begin{eqnarray*} E\left( X^n \right) = \lambda \cdot E\left( (X+1)^{n-1} \right) \end{eqnarray*}$ ,

gemäß $\begin{eqnarray*} E(g(X)) = \sum_k g(k)\cdot P(X=k) \end{eqnarray*}$ kann man diese Gleichung mit Summen, besser gesagt Reihen schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} k^n \cdot \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = \lambda \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)^{n-1} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

Da formt man doch am besten mal die rechts stehende Reihe um, bis man die linke erhält. Hinweis: Indexverschiebung $\begin{eqnarray*} j=k+1 \end{eqnarray*}$ vornehmen!

18.01.2009, 22:14

Wusel

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Vielen Dank Arthur Dent!

Als ich die Summen/Reihen gesehen habe, wurde es mir dann auch klar. smile

Ich hatte Anfangs auch in diese Richtung überlegt, aber war mir nicht sicher, ob die Potenz nicht vielleicht auch in die Wahrscheinlichkeit eingeht und es daher verworfen.

So ergibt alles einen Sinn und ich bin glücklich.

Danke nochmals!

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