differenzierbarkeit von 2 funktionen

16.01.2009, 13:00

teyto

differenzierbarkeit von 2 funktionen

Grüß Gott,

hänge bei einer Aufgabe fest (lerne für die bevorstehende Klausur), die eigentl. trvial ist.

Aufgabe lautet:

Gegeben sind zwei Funktionen g,h $\begin{eqnarray*} \in C^{1} ([a,b), \mathbb R ) \end{eqnarray*}$ für die gilt:

$\begin{eqnarray*} g(a) = h(a), g'(x) \geq h'(x) \forall x \in [a,b). \end{eqnarray*}$

Dann folgt: $\begin{eqnarray*} g(x) \geq h(x) \forall x \in [a,b). \end{eqnarray*}$

puhh, bisschen komplex mit latex zu schreiben als laie ^^ :P

16.01.2009, 13:16

klarsoweit

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RE: differenzierbarkeit von 2 funktionen
Betrachte die Funktion f(x) = g(x) - h(x) und nimm an, daß es ein x_0 > a gibt mit f(x_0) < 0 . Wende dann den Mittelwertsatz der Differentialrechnung an.

PS: was das mit dem Threadtitel "Differenzierbarkeit von 2 Funktionen" zu tun hat, ist mir nicht klar.

18.01.2009, 16:16

teyto

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RE: differenzierbarkeit von 2 funktionen
Jup, ich kann den leider nicht mehr umbennen. Könntest du das vlt. machen?, in "Mitteltwersatz anwenden" o.ä.?

Zu der Aufgabe:

Wenn ich den MWS anwende, bekomme ich doch:

( f(x) - f(0) ) / ( x - 0 ).

Doch jetzt weiß ich nicht, wie ich weiter verfahren soll, wenn das oben angegebe überhaupt richtig ist..

18.01.2009, 16:19

tmo

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RE: differenzierbarkeit von 2 funktionen

Zitat:

Original von teyto

Wenn ich den MWS anwende, bekomme ich doch:

( f(x) - f(0) ) / ( x - 0 ).

1. der Mittelwertsatz ist eine Aussage. Das da ist ein Term.

2. Wie kommst du darauf den Mittelwertsatz auf das Intervall $\begin{eqnarray*} (0,x) \end{eqnarray*}$ anzuwenden? verwirrt

Vielleicht ist $\begin{eqnarray*} 0 \notin [a,b] \end{eqnarray*}$ , dann macht das gar kein Sinn.

18.01.2009, 16:41

teyto

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RE: differenzierbarkeit von 2 funktionen
Der MWS ist zwar eine Aussage, doch den muss ich doch anwenden oder nicht?

Wenn ich den verallgemeinerten MWS anwende, bekomme ich folgendes raus:

( g(x) - g(a) ) / ( h(x) - h(a) ) = g'(u) / h'(u) < 1

Da g(a) = h(a) ist, erhalten wir nach Multiplikation mit dem Nenner

g(x) - g(a) < h(x) - h(a)

So habe ich das jedenfalls verstanden..

18.01.2009, 16:50

tmo

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Bleibe mal beim einfachen Mittelwertsatz und wende den auf die Funktion f im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,x_0] \end{eqnarray*}$ an.

18.01.2009, 16:56

teyto

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Also von anfang an:

Der MWS sagt, dass für eine auf [a,b] stetige und auf (a,b) differenzierbare Fkt f ein epsylon $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (a,b) existiert, so dass
f(b) - f(a) = f'(epsylon) (b-a) gilt.

Soweit richtig?

Wie soll ich nun fortfahren?

18.01.2009, 17:21

tmo

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Du kennst f(a)

Und wir redeten von $\begin{eqnarray*} [a,x_0] \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ ...

18.01.2009, 17:24

teyto

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Ok.

Es muss also

f(x_0) - f(a) = f'(epsylon) (x_0 - a)

gelten.

Und jetzt?

18.01.2009, 18:27

tmo

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Nehm doch mal die dir angebotene Hilfe auch an...

Du kennst $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ und du weißt auch was über $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$

18.01.2009, 19:05

teyto

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das problem ist, dass ich nicht verstehe, was ihr eigentl. meint.

19.01.2009, 09:02

klarsoweit

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Meine Güte. Du postest im Hochschulbereich. Muß man da jeden Mini-Schritt vorkauen?

Also was ist f(a)? Und was kannst du über das Vorzeichen von f'(epsilon) sagen?

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