ML-Schätzer

16.01.2009, 13:42

dominik22

ML-Schätzer

hi,

aufgabe : In einer Urne sind N>=2 Lose mit den Ziffern 1,....,N. N ist dabei unbekannt. Jemand zieht n<N Lose ohne zurücklegen, gleichverteilt mit den mit den Nummern x_1,......,x_n: Bestimme den ML-Schätzer.

SO bisher habe ich für P(X_k = x) = 1 / (N-k+1), muss ich jetzt einfach für die likehoodfkt mein P(X = x_1) * .....*P(X=x_k) bilden ?

16.01.2009, 14:08

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Es geht zwar indirekt aus deinen Angaben hervor, aber du hättest trotzdem deutlicher hervorheben können, dass du einen ML-Schätzer für $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ suchst.

Deine Wahrscheinlichkeitsberechnung ist falsch. Als absolute Wahrscheinlichkeit betrachtet gilt

$\begin{eqnarray*} P(X_k = x) = \begin{cases} \frac{1}{N} & \;\mbox{falls}\; x\in\{1,\ldots,N\}\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Was du wohl im Sinn hattest, ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X_k = x | X_1=x_1,\ldots, X_{n-1}=x_{n-1}) \end{eqnarray*}$ , dann wäre es schon eher richtig, aber immer noch ungenau.

Aber warum die Einzelwahrscheinlichkeiten (bedingt oder absolut) berechnen, gib doch gleich direkt die gemeinsame Wkt. an:

$\begin{eqnarray*} P(X_1 = x_1,\ldots,X_n = x_n) = \begin{cases} \frac{1}{N \cdot (N-1) \cdot \ldots \cdot (N-n+1)} & \;\mbox{falls}\; x_1,\ldots,x_n\in\{1,\ldots,N\} \\ 0 & \;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

16.01.2009, 14:11

dominik22

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okay. aber wie mache ich jetzt weiter ? die funktion nach N maximieren ?

16.01.2009, 14:18

dominik22

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aber arthur wie kommst du auf P(X_k = x) = 1/N ??? ist es nicht ein urnenmodell ohne zurücklegen !?!?

16.01.2009, 16:10

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Nochmal:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Was du wohl im Sinn hattest, ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X_k = x | X_1=x_1,\ldots, X_{n-1}=x_{n-1}) \end{eqnarray*}$ , dann wäre es schon eher richtig, aber immer noch ungenau.

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Zitat:

Original von dominik22
okay. aber wie mache ich jetzt weiter ? die funktion nach N maximieren ?

Ja.

16.01.2009, 16:43

dominik22

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dann bekomme ich für L(N) = 1 / (N-n+1), als ableitung L`(N) ) -1 / (N-n+1)^2 heraus, was jedoch wenig sinn macht. ich versteh nicht wo mein fehler liegt

16.01.2009, 16:56

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Maximieren ist nicht immer dasselbe wie "Ableitung = 0"...

Man erkennt ohne jede Differentation, wie sich $\begin{eqnarray*} N \to \frac{1}{N \cdot (N-1) \cdot \ldots \cdot (N-n+1)} \end{eqnarray*}$ monotoniemäßig verhält. Und nicht den zweiten Zweig mit Wert "0" vergessen...

Vielleicht mal ein konkretes Zahlenbeispiel:

Stichprobe mit $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ Werten: $\begin{eqnarray*} x_1=6,x_2=2,x_3=5 \end{eqnarray*}$

Wie lauten die Likelihood-Funktionswerte $\begin{eqnarray*} L(N) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} N=3,\ldots,10 \end{eqnarray*}$ ?

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