Simulation von Zufallszahlen mit gegebener Dichte

16.01.2009, 13:50

Dual Space

Simulation von Zufallszahlen mit gegebener Dichte

Ich habe eine Wahrscheinlichkeitsdichte $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ gegeben und möchte Zufallszahlen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit eben dieser Dichte simulieren. Kann mir jemand sagen, wie ich da vorgehen muss?

16.01.2009, 13:58

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Ich nehme an, die Inverse der Verteilungsfunktion ist nicht einfach darstellbar? Ansonsten wäre das Inversionsverfahren erste Wahl.

Als universell einsetzbares Verfahren bietet sich die Verwerfungsmethode an.

16.01.2009, 14:55

Dual Space

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Danke, Arthur. Bei der gegebenen Dichte kann ich die Verteilungsfunktion leider nicht mal analytisch hinschreiben. Mal schauen, ob ich mit der Verwerfung zurecht komme. Augenzwinkern

16.01.2009, 20:12

Dual Space

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Grml ... ich scheitere schon bei der Konstruktion der Hilfsdichte g, so dass

$\begin{eqnarray*} f(x)\leq M g(x) \end{eqnarray*}$

für ein M>1 und reelle x.

Hier ist mal die Dichte, die mir die Sorgen macht:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{B(a,b)}\frac{1}{|x|^{1-2a}(1+x^2)^{a+b}}, \end{eqnarray*}$

wobei B(.,.) die Beta-Verteilung ist, und 0<a<1, sowie 0<b<1.

Kommt jemand weiter als ich oder kennt jemand eine Mathematica oder Matlab Routine, die das bewerkstelligt?

Edit: Vielleicht noch eine Info, um die ich grad schlauer geworden bin. Und zwar ist obiges f die Dichtefunktion einer Zufallsvariable, die die "symmetrization" (kenne kein deutsches Wort dafür) der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} \sqrt{Z} \end{eqnarray*}$ ist, wobei Z Beta-verteilt ist.

16.01.2009, 20:57

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Wenn ich das richtig sehe, geht deine Zufallsgröße durch eine einfache Transformation aus der Betaverteilung hervor, richtig?

Und die Betaverteilung ist eine auf einem endlichen Intervall (konkret: [0,1]) konzentrierte Verteilung mit beschränkter Dichte - für solche Verteilungen kann man einfach die stetige Gleichverteilung auf dem fraglichen endlichen Intervall als "Hilfsverteilung" nehmen!

16.01.2009, 21:01

Dual Space

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Tatsächlich sehen die Dichten ähnlich aus, danke also schon mal für diesen Hinweis. Dennoch ist mir nicht klar, wie ich von der Beta-Dichte zu meiner komme, zumal die gegebene Dichte f für alle reellen x erklärt ist (und dabei nicht nur trivial außerhalb von [0,1] fortgesetzt wird). verwirrt

16.01.2009, 21:04

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So wie ich das sehe, kannst du doch $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ erstmal als betaverteilt simulieren. Dann bildest du $\begin{eqnarray*} \sqrt{Z} \end{eqnarray*}$ und würfelst noch fifty-fifty ein Vorzeichen dafür aus - schon hast du deinen simulierten Wert? Oder unterliege ich jetzt einem Irrtum? verwirrt

Allerdings habe ich das rein aus der Beschreibung

Zitat:

Original von Dual Space
Und zwar ist obiges f die Dichtefunktion einer Zufallsvariable, die die "symmetrization" (kenne kein deutsches Wort dafür) der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} \sqrt{Z} \end{eqnarray*}$ ist, wobei Z Beta-verteilt ist.

geschlossen - wenn ich mich nicht täusche passt diese Beschreibung nicht zu deiner Dichte...

16.01.2009, 21:12

Dual Space

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OK ... nun mal die ganze Wahrheit:

[attach]9621[/attach]

Ich möchte die Zufallszahlen $\begin{eqnarray*} Y_0 \end{eqnarray*}$ mit Dichte (5.19) simulieren.

Edit: Hab mal die Textpassage erweitert ... langsam dämmert mir, was ich zu tun habe. Mir fehlt halt die Übung auf diesem Terrain. Danke Arthur. Blumen

16.01.2009, 21:19

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Irgendwas stimmt nicht: Ist $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ wirklich betaverteilt? Dann müsste es beschränkt sein, und damit auch $\begin{eqnarray*} Y=\sqrt{Z} \end{eqnarray*}$ beschränkt, was der angegebenen Dichte widerspricht. Irgendwas ist faul. unglücklich

Und wozu wird $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eingeführt? Ich tippe mal auf Schreibfehler: Tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} Y=\sqrt{U} \end{eqnarray*}$ gemeint... verwirrt

16.01.2009, 21:23

Dual Space

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Siehe mein Edit. Vielleicht kommt damit Licht ins dunkel ... ich glaube jedenfalls, dass bei mir der Groschen allmählich fällt.

PS. Auf den Tippfehler U vs. Z spekuliere ich auch.

16.01.2009, 21:36

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Nachrechen über die Dichtetransformation bestätigt diese Spekulation: $\begin{eqnarray*} Y = \sqrt{\frac{Z}{1-Z}} \end{eqnarray*}$ ist umgestellt $\begin{eqnarray*} Z = \frac{Y^2}{1+Y^2} = h(Y) \end{eqnarray*}$ , dann folgt

$\begin{eqnarray*} f_Y(x) &=& f_Z(h(x)) \cdot h'(x) = f_Z\left( \frac{x^2}{1+x^2} \right) \cdot \frac{2x}{(1+x^2)^2}\\ &=& \frac{1}{B(\beta_1,\beta_2)} \cdot \frac{x^{2(\beta_1-1)}}{(1+x^2)^{\beta_1-1}} \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{\beta_2-1}} \cdot \frac{2x}{(1+x^2)^2}\\ &=& \frac{2}{B(\beta_1,\beta_2)} \cdot \frac{x^{2\beta_1-1}}{(1+x^2)^{\beta_1+\beta_2}} \end{eqnarray*}$

Fazit:

1. Simuliere $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ mit Verwerfungsmethode, unter Zuhilfenahme der Gleichverteilung auf [0,1] als Hilfsfunktion.

2. Simuliere das Vorzeichen $\begin{eqnarray*} S\in\{-1,1\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(S=-1) = P(S=1) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

3. Dann hat $\begin{eqnarray*} Y_0 = S \cdot \sqrt{\frac{Z}{1-Z}} \end{eqnarray*}$ die von dir gewünschte Verteilung.

16.01.2009, 21:39

Dual Space

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Danke danke danke ... Tanzen

16.01.2009, 21:48

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Ein Vorteil der Verwerfungsmethode ist zudem, dass du zur Simulation von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ von der zugeörigen Dichte nicht mal den Normierungsfaktor $\begin{eqnarray*} B(\beta_1,\beta_2) \end{eqnarray*}$ berechnen musst. smile

Du musst lediglich das Maximum von $\begin{eqnarray*} x\to x^{\beta_1-1} \cdot (1-x)^{\beta_2-1} \end{eqnarray*}$ im Intervall [0,1] bestimmen, was ja ziemlich einfach ist.

Dabei bin ich allerdings davon ausgegangen, dass $\begin{eqnarray*} \beta_1\geq 1,\beta_2\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist. Ist das nicht der Fall, dann ist leider die o.g. Beschränktheit im Eimer. traurig

16.01.2009, 22:17

Dual Space

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Leider ist das nicht der Fall - beide Parameter sind sogar echt kleiner als 1. Naja zur Not lasse ich mir die Zufallszahlen Z von Mathematica mittels RandomReal[BetaDistribution[b2,b1],n] erzeugen. Schließlich brauche ich die "nur" um einen Prozess zu simulieren.

17.01.2009, 17:27

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Zitat:

Original von Dual Space
Naja zur Not lasse ich mir die Zufallszahlen Z von Mathematica mittels RandomReal[BetaDistribution[b2,b1],n] erzeugen.

Wenn die Möglichkeit besteht, umso besser. Na wenigstens konnten wir die Frage mit dem Druckfehler klären. Augenzwinkern

17.01.2009, 19:37

Dual Space

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Ohne deine Hilfe, wäre ich da so schnell nicht dahinter gekommen und würde immer noch (verzweifelt) nach einer Hilfsdichte g suchen. Augenzwinkern

18.01.2009, 13:00

Dual Space

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Soweit klappt alles super, aber um die Sache noch abzurunden brächte ich erneut Hilfe. Und zwar frag ich mich grad, ob es irgendwie möglich ist (und wenn ja wie) eine $\begin{eqnarray*} B(p_1,q_1) \end{eqnarray*}$ -verteilte Zufallsgröße in eine $\begin{eqnarray*} B(p_2,q_2) \end{eqnarray*}$ -verteilte zu transformieren.

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