[Artikel] Eigenwerte und Eigenvektoren

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
[Artikel] Eigenwerte und Eigenvektoren
In diesem Artikel soll kurz an einem Beispiel gezeigt werden, wie man für kleine Matrizen, diese Aufgabe lösen würde. Es sind die Eigenwerte die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.



Die Determinante wird z.B. über der Entwicklungssatz von Laplace berechnet. Damit ist das erste Problem also die Berechnung von Nullstellen. In den meisten Fällen bei Übungsaufgaben sind die Beispiele konstruiert, und man sollte die Hoffnung auf ganzzahlige Lösungen haben. Ein Test der ganzzahligen Teiler des Absolutgliedes als Nullstellenkandidaten ist vielversprechend. Für Polynome vom Grad 5 oder größer gibt es keine Lösungsformeln mehr. Für kleinere Grade kann man sein Ergebnis hier überprüfen.

Hat man nun die Nullstellen , und damit die Eigenwerte gefunden, so gilt es die zugehören Eigenvektoren zu finden. Dazu muss man die Kerne der foldenen Linearen Gleichungssysteme bestimmen:



Das char. Polynom verrät uns, dass der Kern nicht trivial ist, also gibt es mind. einen Eigenvektor zu jedem Eigenwert. D.h. insbesondere, dass man beim Lösen des LGS mit Parametern rechnen muss. Die Dimension des Kerns = Dimension des Eigenraums nennt man geometrische Vielfachheit des Eigenwertes, im Gegensatz zur Potenz seines linearen Faktors im char. Polynom, die als algebraische Vielfachheit bezeichnet wird.


Lehrer

Sind die Beispiele nicht mehr konstruiert, so stößt man schon bei der Berechnung der Nullstellen des char. Polynoms auf Probleme und wird auf Näherungsverfahren zurückgreifen müssen. Entsprechende Literatur wird man in einem Numerik I oder II Buch finden. Wir wollen hier nun noch ein Beispiel rechnen.

Wer seine Ergebnisse überprüfen will, kann dies hier tun
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel 1:


Wir berechnen nun die Determinante und erhalten mit Laplace:



Das Spektrum lautet:



Dabei hat die algebraische Vielfachheit 2. Wie sehen die geometrischen Vielfachheiten aus? Es gilt LGS zu lösen





Nun formt man das um zu:



Und löst das LGS:



x2 und x3 ist frei wählbar und man erhält die parametrisierte Lösung:



Also lauten die beiden Eigenvektoren (wir haben hier geom. Vielfachheit 2)




Nun der letzte Eigenwert:



Nun formt man das um zu:



Und löst das LGS:



x3 ist frei wählbar und wir erhalten



Hier bilden die EV eine Basis des IR³, weil wir eben 3 Vektoren haben. Das liegt an den Geometrischen Vielfachheiten also der Dimension der Eigenräume.
 
 
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