Was ist ein Gradient? |
| 16.01.2009, 16:30 | Rael | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Was ist ein Gradient? ich hab mal eine Frage: Was ist ein Gradient? Ich versuche mal vorab zu erläutern, was ich verstanden habe. Es gibt Funktionen mit mehreren Variablen, z. B. welche mit zwei Variablen x und y. Die zugehörige Funktion bezeichnet man etwa mit z = f(x,y). Jedem Punktepaar (x,y) der x,y-Ebene wird also ein z zugeordnet. Zugehörige Graphen kann man im dreidimensionalen Raum darstellen. Sie sind die Fläche aller Punkte (x,y,z) = (x,y,f(x,y)). An der Stelle (x,y) hat der Graph die Höhe f(x,y). Alle Punkte mit derselben Höhe liegen auf einer Höhenlinie (=Niveaufläche). Eine Höhenlinie ist also eine Teilmenge der Definitionsmenge, in der f(x,y) die gleichen Werte annimmt. Der Gradient ist ein Vektor mit - zumindest in meinem Beispiel - zwei Komponenten: der Steigung in x-Richtung als erste Komponente und der Steigung in y-Richtung als zweite Komponente. Der Gradient beinhaltet also alle partiellen Ableitungen. Jetzt wird in der Vorlesung gesagt, dass der Gradient immer in die Richtung zeigt, in der die Funktion am stärksten steigt (=am steilsten ist). Und zwar deshalb, weil er immer senkrecht auf den Höhenlinien bzw. Niveauflächen steht. Und genau das verstehe ich nicht richtig. Ich habe mal ein paar Fragen notiert: 1. Eine Höhenlinie kann eine Gerade sein, muss es aber nicht, weshalb der Begriff "Niveaufläche" vielleicht weniger verwirrend ist, oder? 2. Warum zeigt der Gradient immer in die Richtung, in der die Funktion am stärksten steigt? Hängt das irgendwie mit der Geometrie an sich bzw. den partiellen Ableitungen zusammen? 3. Warum steht der Gradient immer senkrecht auf den Höhenlinien bzw. Niveauflächen? 4. Der Gradient hängt doch von x und y ab. Deshalb muss er sich je nach Punkt (x,y) verändern, also ein je anderer Vektor sein. Der Ort, an dem die Funktion am stärksten steigt, bleibt dabei doch immer gleich. Heißt das, dass es je nach "Standpunkt" auf dem Graphen unterschiedliche Gradienten gibt, die zwar nicht alle in dieselbe Richtung zeigen, weil sie dann Vielfache voneinander wären, aber doch zumindest alle in denselben Bereich weisen? Ich hoffe, ihr steigt durch mein Geschreibsel durch und könnt mir helfen. Ich bin euch für alle Antworten dankbar. Grüße Rael |
||||||||||
| 18.01.2009, 21:54 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Was ist ein Gradient?
Höhenlinie dann, wenn es eine Linie ist; und Niveaufläche dann, wenn es eine Fläche ist.
Sei e ein Einheitsvektor, dann gilt (mit cos(...) ist hier der Cosinus des Winkels zwischen den Vektoren gemeint): Letzteres Produkt wird am größten, wenn der Winkel zwischen Gradient und Einheitsvektor 0 Grad beträgt. D.h. der Gradient zeigt die Richtung an, in der die Richtungsableitung von f durch (x, y) am größten ist; kurz gesagt, der Gradient zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs.
Beantwortet von der Anschauung her schon 2. Ansonsten kannst du die Ableitung der Höhenlinie ausrechnen und per Skalarprodukt mit dem Gradienten sehen, dass 0 herauskommt.
Stell dir vor, du stehst in . Dann geht es in Richtung weiter, wenn du die steilste Klettertour machen möchtest. Grüße Abakus 
|
||||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
