Nicht Definiert

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16.01.2009, 17:01	alyssa85	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht Definiert g= $\begin{eqnarray} \frac{(2x+1)(x-1)}{x-1} \end{eqnarray}$ f= $\begin{eqnarray} 2x+1 \end{eqnarray}$ mein Buch sagt das g ungleich f ist. Ich kann aber doch g kürzen. Ist das nicht zulässig? Geht man garnicht ans kürzen wenn x für manche Zahlen einer Menge nicht definiert ist?
16.01.2009, 17:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nicht Definiert Natürlich sind sie nicht gleich. Unterschiedliche Definitionsmengen. Es handelt sich bei g aber um das Problem einer hebbaren Lücke, so dass f die stetige Fortsetzung von g ist
16.01.2009, 17:30	alyssa85	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, ich verstehe nicht ganz die Vorgehensweise. Ich sehe z.B. die Gleichung g und denke mir: "klar, kann man umformen" forme sie um und setzte Werte rein und es passt. Ich dachte Termumformungen kann man immer machen da sie das Ergebnis nicht verändern. Allerdings ist natürlich das Argument unschlagbar das die verschiedenen Terme verschiedene Zahlenmengen -ich sag mal- aussagen. Die Frage ist: Warum ist hier "erstens" Termumwandlung und nach dem Akt "zweitens" eine Aussage machen, nicht koscher? Was heißt hebbare Lücke?
16.01.2009, 17:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei solchen Fragen vergiß bitte einfach mal deine Übliche Rechenpraxis. Wir definieren eine Funktion auf den reellen Zahlen: $\begin{eqnarray} g(x):=\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1} \end{eqnarray}$ Nun ist die Frage, wo wollen wir die Funktion betrachten. Wir interessieren uns dabei ersteinmal für ihren maximalen Definitionsbereich. $\begin{eqnarray} D_g=\mathbb R \setminus\{1\} \end{eqnarray}$ Nun ist die Frage, wie verhält sich g, wenn man sich von rechts, links der Definitionslücke nähert? $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1-} g(x)=3=\lim_{x \to 1+} \end{eqnarray}$ Super, wir freuen uns und können die Funktion stetig fortsetzen. Z.B. so $\begin{eqnarray} h(x)=\begin{cases} g(x) & x<1 \\ 3 & x=1 \\ g(x) & 1<x \end{cases} \end{eqnarray}$ Eine solche Funktion wäre dann f. Denn sie erfüllt diese Bedingungen. Wie schaut es denn hier aus? $\begin{eqnarray} g(x)=\frac{1}{x-1} \end{eqnarray}$ Wie verhält sich diese Funktion an der Definitionslücke?
16.01.2009, 17:57	alyssa85	Auf diesen Beitrag antworten »
ich schätze wir freuen uns auch? man kann sie nämlich auch stetig fortsetzen? Warum freuen wir uns? -ganz vorsichtig gefragt-
16.01.2009, 18:00	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, wir sind ganz
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16.01.2009, 18:01	alyssa85	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, geht natürlich ins unendliche
16.01.2009, 18:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
eben.
16.01.2009, 18:03	alyssa85	Auf diesen Beitrag antworten »
kannst du mir eine Seite empfehlen die Differenzialrechnung gut erklärt?
16.01.2009, 18:04	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt drauf an, WAS du wissen willst. http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung Mehr Theorie, oder praktisches Ableiten.
16.01.2009, 18:06	alyssa85	Auf diesen Beitrag antworten »
beides? in verständlicher Sprache?
16.01.2009, 18:10	alyssa85	Auf diesen Beitrag antworten »
Und vielleicht noch kurz, wegen dem Vorgehen. Man unterscheidet also zwischen praktischem vorgehen und theoretischem? Also wenn ich so eine Aufgabe bekomme mit der Aufforderung "LÖSEN", kann ich einfach Termumwandlung machen oder sollte ich den Definitionsrahmen erwähnen?
16.01.2009, 18:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt eben die Theorie hinzu, wird es technisch. Aber warum nimmst du nicht dein Schulbuch? Wenn du Begriffe nicht verstehst, kannst du hier fragen. Ein konkretes Buch kann ich dir nicht nennen.
16.01.2009, 18:14	alyssa85	Auf diesen Beitrag antworten »
Okey. Zur Differenzialrechnung dachte ich das du vielleicht eine gute didaktische Seite kennst. Ich hatte das durchgenommen aber nie wirklich verstanden. Es gab zwar ne gute Note aber damit war das Kapitel abgeschlossen.
16.01.2009, 18:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht ist das einfacher? http://www.mathematik.net/diff1/da.htm
16.01.2009, 18:29	alyssa85	Auf diesen Beitrag antworten »
herzlichen Dank!
16.01.2009, 18:33	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte hier noch eine kleine Ergänzung bringen: Es ist schlicht falsch, dass man zum Beispiel durch " $\begin{eqnarray} f(x)=2x+1 \end{eqnarray}$ " eine Funktion definiert. Natürlich wird das vielmals in Schulbüchern getan, aber es ist eben falsch. Sauber gesagt geht es etwas anderes: Man bekommt eine Funktion erst, wenn man sich als allererstes zwei Mengen sucht, also die Mengen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Man betrachtet erst danach eine gewisse Vorschrift um einem $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ ein gewisses $\begin{eqnarray} b\in B \end{eqnarray}$ zuzuordnen. Erst diese Zuordnung nennt man dann eine Funktion und gibt ihr zum Beispiel den Namen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Das wichtige ist hier, dass man eben nicht bloss die Funktionsvorschrift angeben muss, sondern auch die Definitions- und Zielmenge ! Erst durch diese drei Angaben (Definitionsmenge, Zielmenge, Vorschrift) hat man eine Funktion. Man schreibt deshalb Funktionen zweckmässig als $\begin{eqnarray} f:A\to B \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} f(a)=b \end{eqnarray}$ um alle Informationen zu haben: Die Definitionsmenge ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , die Zielmenge $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und hinten steht die Vorschrift. Nun Beispiele: Ich wähle $\begin{eqnarray} A=\mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B=\mathbb R \end{eqnarray}$ und eine Vorschrift $\begin{eqnarray} x\mapsto 2x+1 \end{eqnarray}$ . Erst dadurch ist eine Funktion festgelegt, die ich $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nennen will. Kurz schreibt man dann $\begin{eqnarray} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} f(x)=2x+1 \end{eqnarray}$ Nehmen wir noch eine Funktion: Ich wähle $\begin{eqnarray} A=[0,1] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B=\mathbb R \end{eqnarray}$ und definiere die Vorschrift $\begin{eqnarray} x\mapsto 2x+1 \end{eqnarray}$ . Diese Funktion nenne ich $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} g:[0,1]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} g(x)=2x+1 \end{eqnarray}$ . Man sieht hier: Beide Funktionen haben gleiche Zielmengen und sogar die gleichen Vorschriften. ABER: Die Definitionsmenge ist nicht gleich ! Aus diesem Grund sind die Funktionen auch verschieden! Genauso ist dein obiges Beispiel zu verstehen: Du hast wohl recht, dass man kürzen konnte bei der Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ . Aber jetzt weisst du: Eigentlich war $\begin{eqnarray} g:\mathbb R\setminus\{1\}\to\mathbb R \end{eqnarray}$ definiert durch deine obige Vorschrift und $\begin{eqnarray} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ definiert durch deine obige Vorschrift. Du siehst hier, wieder sind die Funktionen nicht gleich. Natürlich macht die richtige Definition einer Funktion auch Aufgaben sinnlos, die lauten "Wo ist die Funktion definiert?". Man kann sie überall dort definieren, wo keine Rechenregeln verletzt werden, man kann aber genausogut ein Paar Punkte weglassen, oder sogar ganze Abschnitte.
16.01.2009, 19:13	alyssa85	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, das war wirklich hilfreich! Herzlichen Dank. Auch beiden natürlich

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