Schnittebene zweier Kugel

17.01.2009, 11:03

DOZ ZOLE

Schnittebene zweier Kugel

Ich habe die Kugeln $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ gegeben und soll nun auf 2 verschiedene Arten die Ebene finden in der der Schnittkreis der beiden Kugeln liegt.

$\begin{eqnarray*} K_1: [\vec{x}-\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}]^2=36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_2: [\vec{x}-\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}]^2=4 \end{eqnarray*}$

Ich habe nun die beiden Gleichungen erstmal ausmultipliziert und erhalte:

$\begin{eqnarray*} K_1: x^2+2x+y^2-6y+z^2-2z=25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_2: x^2-8x+y^2-10y+z^2-2z=-38 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich die beiden Gleichungen voneinander Subtrahiert ( $\begin{eqnarray*} K_1-K_2 \end{eqnarray*}$ ) und erhalte die Schnittebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E: 10x+4y=63 \end{eqnarray*}$

so ich soll nun aber noch eine 2. Möglichkeit finden diese Ebene zu bestimmen habe aber keine Idee wie das gehen soll, außer mir meinem schon gegangenen Weg.
Deshalb bitte ich hier um Lösungsansätze, Anregungen und Ideen wie man diese Problem auf einem anderen Weg lösen kann.

MfG DOZ ZOLE

17.01.2009, 11:49

Leopold

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Man muß dazu Folgendes sagen. Durch die Subtraktion der beiden Kugelgleichungen erhält man eine lineare Beziehung (Ebenengleichung). Die Sache ist aber nicht umkehrbar. Das ist also mit anderen Worten keine Äquivalenzumformung. Wenn sich also die Kugeln schneiden, dann gilt diese lineare Beziehung für die Koordinaten der Schnittpunkte. Damit ist das die Ebenengleichung, in der der Schnittkreis liegt.
Aber auch dann, wenn sich die Kugeln nicht schneiden, erhält man durch Subtraktion der beiden Kugelgleichungen eine Ebenengleichung. Sie hat aber keine konkrete reale Bedeutung für die beiden Kugeln. Was nicht heißen soll, daß es nicht andere Bedeutungen geben mag ...

Nun zur Alternativlösung. Zeichne dir zwei sich schneidende Kreise verschiedener Größe und ihre Zentrale (Verbindungsgerade der Mittelpunkte). Jetzt nimm diese Zentrale als Rotationsachse und drehe die Figur. Dann hast du die Situation der Aufgabe. Was ist denn ein Normalenvektor der Schnittebene?
Jetzt brauchst du noch einen Punkt der Schnittebene. Dazu könntest du ein geeignetes Vielfaches des Normalenvektors an einem Kugelmittelpunkt ansetzen. Nur welches?
In deiner Figur zerlegt das Lot von einem Schnittpunkt der Kreise auf die Zentrale die Strecke zwischen den Mittelpunkten in zwei Abschnitte $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ , die zusammen den Abstand $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ der Mittelpunkte ergeben:

$\begin{eqnarray*} \text{(I)} \ \ d_1 + d_2 = d \end{eqnarray*}$

Es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke, wenn man den Schnittpunkt der Kreise mit den Mittelpunkten verbindet. Sind $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ passend numeriert die Radien der Kreise und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die gemeinsame Seite der beiden Dreiecke, so folgt nach Pythagoras:

$\begin{eqnarray*} {r_1}^2 = {d_1}^2 + h^2 \, , \ \ {r_2}^2 = {d_2}^2 + h^2 \end{eqnarray*}$

Durch Subtraktion der Gleichungen fällt $\begin{eqnarray*} h^2 \end{eqnarray*}$ weg. Mit der dritten binomischen Formel kannst du gemäß $\begin{eqnarray*} \text{(I)} \end{eqnarray*}$ die Größe $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ins Spiel bringen. So bekommst du eine Gleichung $\begin{eqnarray*} \text{(II)} \end{eqnarray*}$ für die Differenz $\begin{eqnarray*} d_1 - d_2 \end{eqnarray*}$ . Die Gleichungen $\begin{eqnarray*} \text{(I)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{(II)} \end{eqnarray*}$ bilden ein lineares Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} d_1,d_2 \end{eqnarray*}$ , aus dem sich die Größen errechnen lassen.

Und $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \pm \frac{d_1}{d} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = \pm \frac{d_2}{d} \end{eqnarray*}$ sind die gesuchten Streckfaktoren für den Normalenvektor, je nachdem, an welchem Mittelpunkt du ihn ansetzt und welche Richtung er hat.

EDIT
An mehreren Stellen die falschen $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} d_1,d_2 \end{eqnarray*}$ ersetzt.

17.01.2009, 12:51

DOZ ZOLE

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danke erstmal für die alternative lösung. ich hab aller dings ein paar verständnis schwierigkeiten im folgendem abschnitt:

Zitat:

Original von Leopold
Durch Subtraktion der Gleichungen fällt $\begin{eqnarray*} h^2 \end{eqnarray*}$ weg. Mit der dritten binomischen Formel kannst du gemäß $\begin{eqnarray*} \text{(I)} \end{eqnarray*}$ die Größe $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ins Spiel bringen. So bekommst du eine Gleichung $\begin{eqnarray*} \text{(II)} \end{eqnarray*}$ für die Differenz $\begin{eqnarray*} d_1 - d_2 \end{eqnarray*}$ . Die Gleichungen $\begin{eqnarray*} \text{(I)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{(II)} \end{eqnarray*}$ bilden ein lineares Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} d_1,d_2 \end{eqnarray*}$ , aus dem sich die Größen errechnen lassen.

Und $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \pm \frac{u_1}{d} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = \pm \frac{u_2}{d} \end{eqnarray*}$ sind die gesuchten Streckfaktoren für den Normalenvektor, je nachdem, an welchem Mittelpunkt du ihn ansetzt und welche Richtung er hat.

wenn ich die beiden gleichungen subtrahiere erhalte ich doch die gleichung:

$\begin{eqnarray*} r_1^2-r_2^2=u_1^2-u_2^2 \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} (r_1+r_2)(r_1-r_2)=(u_1+u_2)(u_1-u_2) \end{eqnarray*}$

wobei doch gilt:
$\begin{eqnarray*} u_1=d_1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} u_2=d_2 \end{eqnarray*}$

und jetzt kommt mein problem. wie soll ich jetzt den abstand $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ins spiel bringen?

17.01.2009, 13:51

Leopold

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Ich bitte um Entschuldigung. Die $\begin{eqnarray*} u_1,u_2 \end{eqnarray*}$ sind natürlich Quatsch. Das soll $\begin{eqnarray*} d_1,d_2 \end{eqnarray*}$ heißen.
In der Gleichung brauchst du links die binomische Formel nicht, nur rechts. Ersetze $\begin{eqnarray*} d_1+d_2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ und löse nach $\begin{eqnarray*} d_1-d_2 \end{eqnarray*}$ auf. So bekommst du die von mir beschriebene Gleichung $\begin{eqnarray*} \text{(II)} \end{eqnarray*}$ . Beachte, daß die Größen $\begin{eqnarray*} r_1,r_2,d \end{eqnarray*}$ bekannt sind bzw. leicht berechnet werden können.

17.01.2009, 14:38

DOZ ZOLE

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ok danke.
jetzt hab ich die gleiche lösung wie bei meinem weg bekommen smile